Barisan Bilangan Real & Konvergensi

Barisan dalam $\mathbb{R}$ adalah fungsi $X: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ . Suku ke- $n$ biasanya ditulis $x_n$ , dan seluruh barisan dinotasikan $(x_n)_{n=1}^\infty$ atau cukup $(x_n)$ .

Definisi Konvergensi Barisan

Definisi 2.1 (Limit Barisan (Epsilon-K))

Barisan $(x_n)$ dalam $\mathbb{R}$ dikatakan konvergen ke $x \in \mathbb{R}$ , ditulis $\lim_{n \to \infty} x_n = x$ atau $x_n \to x$ , jika untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat $K \in \mathbb{N}$ (yang bergantung pada $\epsilon$ ) sedemikian sehingga untuk semua $n \ge K$ , berlaku: $|x_n - x| < \epsilon$

Ketunggalan Limit & Keterbatasan

Teorema 2.2 (Ketunggalan Limit)

Jika barisan $(x_n)$ konvergen, maka limitnya tunggal.

Teorema 2.3 (Barisan Konvergen Pasti Terbatas)

Jika barisan $(x_n)$ konvergen, maka $(x_n)$ terbatas (artinya terdapat $M > 0$ sedemikian sehingga $|x_n| \le M$ untuk semua $n \in \mathbb{N}$ ).

Sifat Aljabar Limit Barisan

Jika $\lim x_n = x$ dan $\lim y_n = y$ , maka:

$\lim (x_n + y_n) = x + y$
$\lim (c \cdot x_n) = c \cdot x$
$\lim (x_n \cdot y_n) = x \cdot y$
Jika $y \neq 0$ dan $y_n \neq 0$ , maka $\lim (x_n / y_n) = x / y$ .

Latihan Soal Bab 2.1

✏️ Latihan Soal 2.1 (Membuktikan Limit Barisan via Epsilon-K)

Gunakan definisi formal limit (Epsilon-K) untuk membuktikan bahwa: $\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{2n + 5} = \frac{3}{2}$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Diberikan $\epsilon > 0$ . Kita ingin mencari $K \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga jika $n \ge K$ , maka: $\left| \frac{3n + 1}{2n + 5} - \frac{3}{2} \right| < \epsilon$

Hitung selisihnya: $\left| \frac{2(3n + 1) - 3(2n + 5)}{2(2n + 5)} \right| = \left| \frac{6n + 2 - 6n - 15 font}{4n + 10} \right| = \left| \frac{-13}{4n + 10} \right| = \frac{13}{4n + 10}$

Kita ingin $\frac{13}{4n + 10} < \epsilon \iff 4n + 10 > \frac{13}{\epsilon} \iff 4n > \frac{13}{\epsilon} - 10 \iff n > \frac{13}{4\epsilon} - \frac{5}{2}$ .

Berdasarkan Sifat Archimedes, pilih $K = \max\left(1, \left\lfloor \frac{13}{4\epsilon} \right\rfloor + 1\right)$ . Maka untuk semua $n \ge K$ , ketaksamaan di atas terpenuhi. Terbukti bahwa $\lim_{n \to \infty} \frac{3n+1}{2n+5} = \frac{3}{2}$ .

Lihat materi selanjutnya:

Teorema Bolzano-Weierstrass & Barisan Cauchy