Subbarisan, Teorema Bolzano-Weierstrass & Barisan Cauchy

Subbarisan diperoleh dengan memilih suku-suku dari suatu barisan dengan indeks yang semakin membesar $n_1 < n_2 < n_3 < \dots$ .

Pernyataan Teorema Bolzano-Weierstrass

Teorema 2.4 (Teorema Bolzano-Weierstrass)

Setiap barisan terhitung yang terbatas dalam $\mathbb{R}$ memiliki sekurang-kurangnya satu subbarisan yang konvergen.

Barisan Cauchy & Kelengkapan ℝ

Definisi 2.5 (Barisan Cauchy)

Barisan $(x_n)$ disebut barisan Cauchy jika untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat $H \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga untuk semua $n, m \ge H$ , berlaku: $|x_n - x_m| < \epsilon$

Teorema 2.6 (Kriteria Konvergensi Cauchy)

Barisan bilangan real $(x_n)$ konvergen jika dan hanya jika $(x_n)$ merupakan barisan Cauchy. Sifat ini dikenal sebagai Kelengkapan Cauchy (Cauchy Completeness) dari $\mathbb{R}$ .

Latihan Soal Bab 2.2

✏️ Latihan Soal 2.2 (Membuktikan Barisan Cauchy)

Tunjukkan bahwa barisan $x_n = \frac{1}{n}$ adalah barisan Cauchy.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Misalkan diberikan $\epsilon > 0$ . Pilih $H \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $H > \frac{2}{\epsilon}$ (menggunakan Sifat Archimedes). Untuk sebarang $n, m \ge H$ , kita peroleh $\frac{1}{n} \le \frac{1}{H} < \frac{\epsilon}{2}$ dan $\frac{1}{m} \le \frac{1}{H} < \frac{\epsilon}{2}$ .

Sehingga: $|x_n - x_m| = \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| \le \frac{1}{n} + \frac{1}{m} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$

Terbukti bahwa $(x_n)$ adalah barisan Cauchy.

Lihat materi selanjutnya:

Deret Takhingga & Uji Konvergensi

Subbarisan, Teorema Bolzano-Weierstrass & Barisan Cauchy

Pernyataan Teorema Bolzano-Weierstrass

Barisan Cauchy & Kelengkapan ℝ

Latihan Soal Bab 2.2

Materi Terkait (Linked References) (3)

Teorema Residu Cauchy

Barisan Bilangan Real & Konvergensi

Sistem Bilangan Real & Aksioma Kelengkapan

Title