Sistem Bilangan Real & Aksioma Kelengkapan

Membuktikan $\inf S = 0$: Karena $n \ge 1$, maka $\frac{1}{n} \le 1 \implies 1 - \frac{1}{n} \ge 0$. Jadi $0$ adalah batas bawah dari $S$. Karena $0 \in S$ (saat $n=1$), maka $\inf S = \min S = 0$.

Membuktikan $\sup S = 1$: Karena $\frac{1}{n} > 0$, maka $1 - \frac{1}{n} < 1$ untuk semua $n \in \mathbb{N}$, sehingga $1$ adalah batas atas dari $S$. Misalkan $\epsilon > 0$. Berdasarkan Sifat Archimedes, terdapat $n \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $\frac{1}{n} < \epsilon$. Akibatnya: $1 - \frac{1}{n} > 1 - \epsilon$ Ini menunjukkan bahwa $1 - \epsilon$ bukan lagi batas atas dari $S$. Karena hal ini berlaku untuk sebarang $\epsilon > 0$, terbukti bahwa $\sup S = 1$.