🌱
onmipa.filzabuana.id
Analisis Kompleks

Teorema Residu Cauchy

Pengevaluasian integral kontur fungsi meromorfik menggunakan sisa (residue) pada titik-titik singularitas terisolasi.

📅 Dibuat: 1 Agustus 2026
🔄 Diperbarui: 2 Agustus 2026

Teorema Residu Cauchy adalah alat perkasa dalam analisis kompleks untuk menghitung integral kontur tertutup serta integral riil yang sulit dievaluasi dengan metode kalkulus biasa.

Pernyataan Teorema

Teorema 2.1 (Teorema Residu Cauchy)
#

Misalkan D⊂CD \subset \mathbb{C} adalah domain terhubung sederhana dan CC adalah kurva tertutup sederhana berorientasi positif di DD. Jika ff meromorfik di DD dan analitik pada CC serta di dalam CC kecuali pada sejumlah hingga titik singularitas terisolasi z1,z2,…,zkz_1, z_2, \dots, z_k, maka: ∮Cf(z) dz=2πi∑j=1kRes(f,zj)\oint_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{j=1}^k \text{Res}(f, z_j)

Formula Penghitungan Residu

Untuk kutub orde mm pada z=z0z = z_0, residu dievaluasi dengan formula: Res(f,z0)=1(m−1)!lim⁡z→z0dm−1dzm−1[(z−z0)mf(z)]\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right]

Untuk kutub sederhana (m=1m=1): Res(f,z0)=lim⁡z→z0(z−z0)f(z)\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)

Kaitan dengan Analisis Real

Banyak integral real seperti ∫−∞∞cos⁡xx2+1dx\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{x^2 + 1} dx dihitung dengan mentransformasikannya ke kurva kontur kompleks dan menerapkan Teorema Residu.

Lihat juga:

🔗

Materi Terkait (Linked References) (1)

Struktur Aljabar Bab 1

Teorema Lagrange dalam Teori Grup

Orde dari setiap subgrup dari grup berhingga membagi habis orde dari grup tersebut.