🌱
onmipa.filzabuana.id
Analisis Real

Deret Takhingga & Uji Konvergensi

Jumlah parsial, uji pembandingan, uji rasio, uji akar, dan konvergensi mutlak deret takhingga.

📅 Dibuat: 2 Agustus 2026
🔄 Diperbarui: 2 Agustus 2026

Deret takhingga ∑k=1∞xk\sum_{k=1}^\infty x_k didefinisikan sebagai limit dari barisan jumlah parsial sn=∑k=1nxks_n = \sum_{k=1}^n x_k. Jika lim⁡n→∞sn=S\lim_{n \to \infty} s_n = S, maka deret dikatakan konvergen ke SS.

Syarat Perlu Konvergensi Deret

Teorema 2.7 (Uji Suku ke-n)
#

Jika deret ∑n=1∞xn\sum_{n=1}^\infty x_n konvergen, maka lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x_n = 0. (Catatan: Kebalikannya tidak selalu berlaku! Contoh: Deret harmonik ∑1n\sum \frac{1}{n} divergen meski 1n→0\frac{1}{n} \to 0.)

Uji-Uji Konvergensi Deret Suku Positif

Teorema 2.8 (Uji Rasio D'Alembert)
#

Misalkan xn>0x_n > 0 dan L=lim⁡n→∞xn+1xnL = \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n}.

  1. Jika L<1L < 1, deret ∑xn\sum x_n konvergen mutlak.
  2. Jika L>1L > 1, deret ∑xn\sum x_n divergen.
  3. Jika L=1L = 1, uji tidak memberikan kesimpulan.

Latihan Soal Bab 2.3

✏️ Latihan Soal 2.3 (Uji Konvergensi Deret)
#

Uji konvergensi dari deret takhingga ∑n=1∞n22n\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n}.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Gunakan Uji Rasio dengan xn=n22n>0x_n = \frac{n^2}{2^n} > 0: L=lim⁡n→∞xn+1xn=lim⁡n→∞(n+1)22n+1⋅2nn2=lim⁡n→∞(n+1)2n2⋅12=1⋅12=12L = \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{2} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Karena L=12<1L = \frac{1}{2} < 1, berdasarkan Uji Rasio D’Alembert, deret ∑n=1∞n22n\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n} konvergen.

Lihat bab berikutnya:

🔗

Materi Terkait (Linked References) (1)

Analisis Real Bab 2

Subbarisan, Teorema Bolzano-Weierstrass & Barisan Cauchy

Pengertian subbarisan, bukti Teorema Bolzano-Weierstrass, serta kriteria kelengkapan barisan Cauchy dalam ℝ.