Limit Fungsi & Teorema Apit

Limit fungsi menjelaskan perilaku nilai $f(x)$ ketika masukan $x$ mendekati suatu titik kluster $c$ .

Definisi Limit Fungsi (Epsilon-Delta)

Definisi 3.1 (Limit Fungsi (Epsilon-Delta))

Misalkan $A \subseteq \mathbb{R}$ , $f: A \to \mathbb{R}$ , dan $c$ adalah titik kluster dari $A$ . Bilangan $L \in \mathbb{R}$ disebut limit dari $f$ di $c$ , ditulis $\lim_{x \to c} f(x) = L$ , jika untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk semua $x \in A$ dengan $0 < |x - c| < \delta$ , berlaku: $|f(x) - L| < \epsilon$

Teorema Apit (Squeeze Theorem)

Teorema 3.2 (Teorema Apit)

Misalkan $f, g, h: A \to \mathbb{R}$ dan $c$ adalah titik kluster dari $A$ . Jika:

$f(x) \le g(x) \le h(x)$ untuk semua $x \in A, x \neq c$ , dan
$\lim_{x \to c} f(x) = L = \lim_{x \to c} h(x)$ ,

maka $\lim_{x \to c} g(x) = L$ .

Latihan Soal Bab 3.1

✏️ Latihan Soal 3.1 (Limit Fungsi Trigonometri via Teorema Apit)

Buktikan bahwa $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Karena $-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$ untuk semua $x \neq 0$ , kalikan seluruh ruas dengan $x^2 > 0$ : $-x^2 \le x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le x^2$

Perhatikan bahwa: $\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{dan} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0$

Berdasarkan Teorema Apit, terbukti bahwa $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$ .

Lihat bab berikutnya:

Bab 4: Fungsi Kontinu

Definisi Limit Fungsi (Epsilon-Delta)

Teorema Apit (Squeeze Theorem)

Latihan Soal Bab 3.1

Materi Terkait (Linked References) (1)

Deret Takhingga & Uji Konvergensi

Title