Kekontinuan & Teorema Nilai Antara

Fungsi $f: A \to \mathbb{R}$ kontinu di $c \in A$ jika limit $f(x)$ saat $x \to c$ ada dan sama dengan $f(c)$ .

Definisi Kekontinuan

Definisi 4.1 (Kekontinuan di Satu Titik)

Misalkan $A \subseteq \mathbb{R}$ , $f: A \to \mathbb{R}$ , dan $c \in A$ . $f$ dikatakan kontinu di $c$ jika untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk semua $x \in A$ dengan $|x - c| < \delta$ , berlaku: $|f(x) - f(c)| < \epsilon$

Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem)

Teorema 4.2 (Teorema Nilai Antara (IVT))

Misalkan $I = [a, b]$ dan $f: I \to \mathbb{R}$ kontinu pada $I$ . Jika $k$ adalah bilangan riil di antara $f(a)$ dan $f(b)$ , maka terdapat sekurang-kurangnya satu titik $c \in (a, b)$ sedemikian sehingga: $f(c) = k$

Latihan Soal Bab 4.1

✏️ Latihan Soal 4.1 (Keberadaan Akar Akar Polinomial via IVT)

Tunjukkan bahwa persamaan $x^5 - 3x - 1 = 0$ memiliki sekurang-kurangnya satu akar real di selang $(1, 2)$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Definisikan fungsi $f(x) = x^5 - 3x - 1$ . Fungsi $f$ adalah polinomial, sehingga kontinu di seluruh $\mathbb{R}$ , khususnya pada selang tertutup $[1, 2]$ .

Hitung nilai fungsi di ujung-ujung selang:

$f(1) = 1^5 - 3(1) - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 < 0$
$f(2) = 2^5 - 3(2) - 1 = 32 - 6 - 1 = 25 > 0$

Karena $f(1) < 0 < f(2)$ dan $f$ kontinu pada $[1, 2]$ , berdasarkan Teorema Nilai Antara (IVT), terdapat $c \in (1, 2)$ sedemikian sehingga $f(c) = 0$ . Terbukti bahwa $x^5 - 3x - 1 = 0$ memiliki akar real di selang $(1, 2)$ .

Lihat materi selanjutnya:

Kekontinuan Seragam & Teorema Heine-Cantor

Definisi Kekontinuan

Teorema Nilai Antara (Intermediate Value Theorem)

Latihan Soal Bab 4.1

Materi Terkait (Linked References) (1)

Limit Fungsi & Teorema Apit

Title