Kekontinuan Seragam & Teorema Heine-Cantor

Kekontinuan seragam adalah sifat kekontinuan yang lebih kuat: pemilihan $\delta$ hanya bergantung pada $\epsilon$ , bukan pada posisi titik $x$ .

Definisi Kekontinuan Seragam

Definisi 4.3 (Kekontinuan Seragam)

Fungsi $f: A \to \mathbb{R}$ dikatakan kontinu seragam pada $A$ jika untuk setiap $\epsilon > 0$ terdapat $\delta > 0$ sedemikian sehingga untuk semua $x, y \in A$ dengan $|x - y| < \delta$ , berlaku: $|f(x) - f(y)| < \epsilon$

Teorema Heine-Cantor

Teorema 4.4 (Teorema Heine-Cantor)

Jika $I = [a, b]$ adalah selang tertutup terbatas (kompak) dan $f: I \to \mathbb{R}$ kontinu pada $I$ , maka $f$ kontinu seragam pada $I$ .

Latihan Soal Bab 4.2

✏️ Latihan Soal 4.2 (Membuktikan Non-Kekontinuan Seragam)

Buktikan bahwa fungsi $f(x) = x^2$ tidak kontinu seragam pada seluruh garis real $\mathbb{R}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Gunakan kriteria barisan untuk non-kekontinuan seragam. Pilih dua barisan $x_n = n$ dan $y_n = n + \frac{1}{n}$ .

Perhatikan bahwa $|x_n - y_n| = \frac{1}{n} \to 0$ saat $n \to \infty$ .
Namun selisih nilai fungsinya adalah: $|f(x_n) - f(y_n)| = |n^2 - (n + 1/n)^2| = |n^2 - (n^2 + 2 + 1/n^2)| = 2 + \frac{1}{n^2} \ge 2$

Karena terdapat $\epsilon_0 = 1$ sedemikian sehingga $|f(x_n) - f(y_n)| \ge 1$ meskipun $|x_n - y_n| \to 0$ , terbukti bahwa $f(x) = x^2$ tidak kontinu seragam pada $\mathbb{R}$ .

Lihat bab selanjutnya:

Bab 5: Turunan & Teorema Nilai Rata-Rata (MVT)

Kekontinuan Seragam & Teorema Heine-Cantor

Definisi Kekontinuan Seragam

Teorema Heine-Cantor

Latihan Soal Bab 4.2

Materi Terkait (Linked References) (1)

Kekontinuan & Teorema Nilai Antara

Title