Turunan, Teorema Rolle & Teorema Nilai Rata-Rata (MVT)

Turunan mengukur laju perubahan seketika dari suatu fungsi.

Definisi Turunan

Definisi 5.1 (Turunan di Satu Titik)

Misalkan $I \subseteq \mathbb{R}$ adalah selang, $f: I \to \mathbb{R}$ , dan $c \in I$ . Turunan dari $f$ di $c$ , ditulis $f'(c)$ , didefinisikan sebagai: $f'(c) = \lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) - f(c)}{h}$ jika limit tersebut ada.

Teorema Rolle & Teorema Nilai Rata-Rata (MVT)

Teorema 5.2 (Teorema Rolle)

Misalkan $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ kontinu pada $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ . Jika $f(a) = f(b)$ , maka terdapat sekurang-kurangnya satu titik $c \in (a, b)$ sedemikian sehingga $f'(c) = 0$ .

Teorema 5.3 (Teorema Nilai Rata-Rata (MVT))

Misalkan $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ kontinu pada $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ . Maka terdapat sekurang-kurangnya satu titik $c \in (a, b)$ sedemikian sehingga: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Latihan Soal Bab 5.1

✏️ Latihan Soal 5.1 (Aplikasi MVT pada Ketaksamaan)

Buktikan bahwa $\sin x \le x$ untuk semua $x \ge 0$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Untuk $x = 0$ , $\sin 0 = 0 \le 0$ (berlaku).
Untuk $x > 0$ , terapkan Teorema Nilai Rata-rata (MVT) pada fungsi $f(t) = \sin t$ dalam selang $[0, x]$ . Fungsi $f$ kontinu pada $[0, x]$ dan terdiferensialkan pada $(0, x)$ dengan $f'(t) = \cos t$ . Berdasarkan MVT, terdapat $c \in (0, x)$ sedemikian sehingga: $\frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \cos c \implies \frac{\sin x}{x} = \cos c$

Karena $\cos c \le 1$ untuk semua $c$ , maka: $\frac{\sin x}{x} \le 1 \implies \sin x \le x \quad (\text{karena } x > 0)$

Terbukti bahwa $\sin x \le x$ untuk semua $x \ge 0$ .

Lihat latihan soal ONMIPA:

Pembahasan ONMIPA Analisis Real

Turunan, Teorema Rolle & Teorema Nilai Rata-Rata (MVT)

Definisi Turunan

Teorema Rolle & Teorema Nilai Rata-Rata (MVT)

Latihan Soal Bab 5.1

Materi Terkait (Linked References) (1)

Kekontinuan Seragam & Teorema Heine-Cantor

Title