🌱
onmipa.filzabuana.id
Analisis Real

Himpunan Kompak dan Teorema Heine-Borel

Open cover, sub-cover berhingga, definisi himpunan kompak, serta Teorema Heine-Borel di R.

📅 Dibuat: 5 Agustus 2026
🔄 Diperbarui: 5 Agustus 2026

Konsep kekompakan (compactness) menghubungkan sifat lokal suatu himpunan dengan sifat globalnya. Dalam R\mathbb{R}, kekompakan menyederhanakan analisis dan penjaminan kekontinuan pada interval tertutup dan terbatas.

1. Definisi Open Cover & Himpunan Kompak

Definisi (Open Cover (Selimut Terbuka))

Misalkan K⊆RK \subseteq \mathbb{R}. Keluarga himpunan terbuka G={Gα:α∈Λ}\mathcal{G} = \{ G_\alpha : \alpha \in \Lambda \} dikatakan sebagai Open Cover bagi KK jika:

K⊆⋃α∈ΛGαK \subseteq \bigcup_{\alpha \in \Lambda} G_\alpha

Definisi (Himpunan Kompak)

Himpunan K⊆RK \subseteq \mathbb{R} dikatakan kompak jika setiap Open Cover bagi KK memiliki sub-cover yang berhingga. Artinya, terdapat α1,α2,…,αn∈Λ\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \in \Lambda sedemikian sehingga:

K⊆Gα1∪Gα2∪⋯∪GαnK \subseteq G_{\alpha_1} \cup G_{\alpha_2} \cup \dots \cup G_{\alpha_n}

2. Teorema Heine-Borel

Dalam Rn\mathbb{R}^n, kriteria abstrak open cover dapat disederhanakan melalui sifat geometris yang jauh lebih mudah diuji:

Teorema (Teorema Heine-Borel)

Himpunan K⊆RK \subseteq \mathbb{R} bersifat kompak jika dan hanya jika KK tertutup dan terbatas.

  • Terbatas: Terdapat M>0M > 0 sehingga ∣x∣≤M|x| \leq M untuk semua x∈Kx \in K.
  • Tertutup: KK memuat seluruh titik limitnya.

3. Contoh Pembuktian Ketidak-kompakan

Contoh (Uji Ketidak-kompakan Interval (0, 1])

Tunjukkan bahwa interval setengah terbuka S=(0,1]S = (0, 1] tidak kompak menggunakan definisi Open Cover.

Penyelesaian:

  1. Definisikan keluarga himpunan terbuka Gn=(1n,2)G_n = \left(\frac{1}{n}, 2\right) untuk setiap n∈Nn \in \mathbb{N}.
  2. Perhatikan bahwa ⋃n=1∞Gn=(0,2)\bigcup_{n=1}^{\infty} G_n = (0, 2). Karena S=(0,1]⊂(0,2)S = (0, 1] \subset (0, 2), maka G={Gn}n=1∞\mathcal{G} = \{ G_n \}_{n=1}^\infty adalah Open Cover bagi SS.
  3. Ambil sebarang sub-cover berhingga {Gn1,Gn2,…,Gnk}\{ G_{n_1}, G_{n_2}, \dots, G_{n_k} \}. Misalkan M=max⁡{n1,n2,…,nk}M = \max\{ n_1, n_2, \dots, n_k \}.
  4. Gabungan sub-cover berhingga ini adalah: Gn1∪⋯∪Gnk=(1M,2)G_{n_1} \cup \dots \cup G_{n_k} = \left(\frac{1}{M}, 2\right)
  5. Namun (1M,2)(\frac{1}{M}, 2) tidak memuat titik-titik dalam SS yang terletak pada interval (0,1M](0, \frac{1}{M}].
  6. Karena terdapat Open Cover yang tidak memiliki sub-cover berhingga, disimpulkan S=(0,1]S = (0, 1] tidak kompak. ■\blacksquare

Latihan Soal

✏️ Latihan Soal 1 (Uji Kompaktifikasi Heine-Borel)

Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut kompak atau tidak menggunakan Teorema Heine-Borel: a. A=[0,10]A = [0, 10] b. B={x∈R:x2+x−6≤0}B = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 + x - 6 \leq 0 \} c. C=[0,∞)C = [0, \infty)

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan: a. A=[0,10]A = [0, 10]: Tertutup (interval tertutup) dan terbatas oleh 1010. Berdasarkan Heine-Borel, AA kompak. b. B={x:(x+3)(x−2)≤0}=[−3,2]B = \{ x : (x+3)(x-2) \leq 0 \} = [-3, 2]: Interval tertutup dan terbatas oleh M=3M = 3. Berdasarkan Heine-Borel, BB kompak. c. C=[0,∞)C = [0, \infty): Tertutup tetapi tidak terbatas di atas. Berdasarkan Heine-Borel, CC tidak kompak. ■\blacksquare

✏️ Latihan Soal 2 (Gabungan Dua Himpunan Kompak)

Buktikan bahwa jika K1K_1 dan K2K_2 adalah himpunan-himpunan kompak, maka gabungannya K1∪K2K_1 \cup K_2 juga merupakan himpunan kompak.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  1. Karena K1K_1 dan K2K_2 kompak, berdasarkan Heine-Borel K1K_1 dan K2K_2 keduanya tertutup dan terbatas.
  2. Gabungan dari dua himpunan tertutup K1∪K2K_1 \cup K_2 adalah tertutup.
  3. Karena K1K_1 terbatas oleh M1M_1 dan K2K_2 terbatas oleh M2M_2, pilih M=max⁡{M1,M2}M = \max\{M_1, M_2\}. Maka ∣x∣≤M|x| \leq M untuk setiap x∈K1∪K2x \in K_1 \cup K_2, sehingga K1∪K2K_1 \cup K_2 terbatas.
  4. Karena K1∪K2K_1 \cup K_2 tertutup dan terbatas, berdasarkan Teorema Heine-Borel disimpulkan K1∪K2K_1 \cup K_2 kompak. ■\blacksquare
✏️ Latihan Soal 3 (Himpunan Bagian Tertutup dari Himpunan Kompak)

Misalkan K⊆RK \subseteq \mathbb{R} kompak. Buktikan bahwa setiap himpunan bagian F⊆KF \subseteq K yang tertutup adalah kompak.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  1. Karena KK kompak, KK terbatas oleh M>0M > 0. Karena F⊆KF \subseteq K, maka FF juga terbatas oleh MM.
  2. Hipotesis menyatakan bahwa FF adalah himpunan tertutup.
  3. Karena FF tertutup dan terbatas, berdasarkan Teorema Heine-Borel disimpulkan FF kompak. ■\blacksquare
✏️ Latihan Soal 4 (Eksistensi Maksimum dan Minimum pada Kompak)

Buktikan bahwa setiap himpunan kompak tak kosong K⊆RK \subseteq \mathbb{R} memuat elemen maksimum dan minimumnya (yaitu sup⁡K∈K\sup K \in K dan inf⁡K∈K\inf K \in K).

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  1. Karena KK kompak, KK terbatas di atas. Berdasarkan Aksioma Supremum, s=sup⁡Ks = \sup K ada di R\mathbb{R}.
  2. Berdasarkan Karakterisasi Epsilon Supremum, ss adalah titik limit dari KK (atau anggota KK).
  3. Karena KK kompak, KK tertutup, sehingga KK memuat seluruh titik limitnya. Jadi s=sup⁡K∈Ks = \sup K \in K.
  4. Dengan cara serupa untuk infimum, w=inf⁡K∈Kw = \inf K \in K.
  5. Karena sup⁡K∈K\sup K \in K dan inf⁡K∈K\inf K \in K, disimpulkan KK memiliki elemen maksimum dan minimum. ■\blacksquare
🔗

Materi Terkait (Linked References) (2)

Analisis Real Bab 2

Limit Barisan dan Konvergensi

Definisi formal limit barisan (epsilon-K), ketunggalan limit, dan teorema keterbatasan barisan konvergen.

Analisis Real Bab 1

Topologi Dasar di Bilangan Real

Persekitaran epsilon, himpunan terbuka dan tertutup, titik limit, serta sifat struktural topologi R.