Topologi Dasar di Bilangan Real

Topologi di $\mathbb{R}$ memberikan kerangka kerja abstrak untuk mengkaji limit dan kekontinuan tanpa harus selalu bergantung pada rumus fungsi. Konsep utamanya berlandaskan pada persekitaran (neighborhood).

1. Persekitaran, Himpunan Terbuka, & Himpunan Tertutup

Definisi (Persekitaran Epsilon (Neighborhood))

Untuk $c \in \mathbb{R}$ dan $\varepsilon > 0$ , persekitaran- $\varepsilon$ dari $c$ adalah himpunan:

$V_\varepsilon(c) = \{ x \in \mathbb{R} : |x - c| < \varepsilon \} = (c - \varepsilon, c + \varepsilon)$

Definisi (Himpunan Terbuka & Tertutup)

Himpunan $G \subseteq \mathbb{R}$ dikatakan terbuka jika untuk setiap $x \in G$ , terdapat persekitaran $V_\varepsilon(x) \subseteq G$ .
Himpunan $F \subseteq \mathbb{R}$ dikatakan tertutup jika komplemennya, $F^c = \mathbb{R} \setminus F$ , merupakan himpunan terbuka.

2. Titik Limit & Karakterisasi Himpunan Tertutup

Definisi (Titik Limit (Accumulation Point))

Titik $x \in \mathbb{R}$ disebut titik limit dari himpunan $S \subseteq \mathbb{R}$ jika setiap persekitaran $V_\varepsilon(x)$ memuat setidaknya satu titik $s \in S$ dengan $s \neq x$ .

Teorema (Karakterisasi Himpunan Tertutup)

Himpunan $F \subseteq \mathbb{R}$ adalah tertutup jika dan hanya jika $F$ memuat seluruh titik limitnya.

3. Contoh Pembuktian Himpunan Terbuka

Contoh (Interval Terbuka)

Tunjukkan bahwa interval $G = (0, 1)$ adalah himpunan terbuka di $\mathbb{R}$ .

Penyelesaian:

Ambil sebarang titik $x \in (0, 1)$ . Kita harus mencari $\varepsilon > 0$ sehingga $(x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq (0, 1)$ .
Pilih $\varepsilon = \min\{ x, 1 - x \}$ . Karena $0 < x < 1$ , maka $\varepsilon > 0$ .
Jika $y \in (x - \varepsilon, x + \varepsilon)$ $y \in (x - ε, x + ε)$ , maka $x - \varepsilon < y < x + \varepsilon$ $x - ε < y < x + ε$ .
- Karena $\varepsilon \leq x$ , diperoleh $x - \varepsilon \geq 0$ .
- Karena $\varepsilon \leq 1 - x$ , diperoleh $x + \varepsilon \leq 1$ .
Jadi $0 \leq x - \varepsilon < y < x + \varepsilon \leq 1 \implies y \in (0, 1)$ .
Karena berlaku untuk setiap $x \in G$ , disimpulkan $G = (0, 1)$ terbuka di $\mathbb{R}$ . $\blacksquare$

Latihan Soal Interaktif

✏️ Latihan Soal 1 (Titik Limit Himpunan Berhingga)

Tunjukkan bahwa himpunan berhingga $S = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ tidak memiliki titik limit. Apakah hal ini berarti $S$ tertutup?

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Ambil sebarang $x \in \mathbb{R}$ . Pilih $\varepsilon = \frac{1}{2} \min \{ |x - a_i| : a_i \neq x \}$ . Jika $x \in S$ , pilih jarak minimum ke titik lain di $S$ .
Persekitaran $V_\varepsilon(x)$ tidak memuat titik anggota $S$ lain selain (mungkin) $x$ itu sendiri.
Jadi tidak ada $x \in \mathbb{R}$ yang memenuhi definisi titik limit, sehingga himpunan titik limit dari $S$ adalah $\emptyset$ .
Karena $\emptyset \subseteq S$ , maka $S$ memuat secara vakum seluruh titik limitnya. Disimpulkan $S$ adalah himpunan tertutup. $\blacksquare$

✏️ Latihan Soal 2 (Irisan Himpunan Terbuka & Contoh Kontra)

Buktikan bahwa irisan dari dua himpunan terbuka $G_1$ dan $G_2$ adalah terbuka. Berikan contoh kontra bahwa irisan tak hingga dari himpunan-himpunan terbuka belum tentu terbuka.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Misalkan $x \in G_1 \cap G_2$ .
- Karena $G_1$ terbuka, terdapat $\varepsilon_1 > 0$ sehingga $V_{\varepsilon_1}(x) \subseteq G_1$ .
- Karena $G_2$ terbuka, terdapat $\varepsilon_2 > 0$ sehingga $V_{\varepsilon_2}(x) \subseteq G_2$ . Pilih $\varepsilon = \min\{\varepsilon_1, \varepsilon_2\} > 0$ . Maka $V_\varepsilon(x) \subseteq V_{\varepsilon_1}(x) \subseteq G_1$ dan $V_\varepsilon(x) \subseteq V_{\varepsilon_2}(x) \subseteq G_2$ , sehingga $V_\varepsilon(x) \subseteq G_1 \cap G_2$ . Disimpulkan $G_1 \cap G_2$ terbuka.
Contoh Kontra: Definisikan $G_n = \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ . Setiap $G_n$ adalah interval terbuka. Namun irisannya adalah: $\bigcap_{n=1}^{\infty} G_n = \{ 0 \}$ Himpunan tunggal $\{0\}$ adalah tertutup, bukan terbuka. $\blacksquare$

✏️ Latihan Soal 3 (Titik Limit Barisan Harmonic)

Tentukan semua titik limit dari himpunan $S = \left\{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\}$ . Apakah $S$ tertutup?

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan:

Titik $0$ adalah titik limit dari $S$ . Sebab untuk setiap $\varepsilon > 0$ , berdasarkan Akibat Sifat Archimedes terdapat $n \in \mathbb{N}$ sehingga $0 < \frac{1}{n} < \varepsilon \implies \frac{1}{n} \in V_\varepsilon(0) \cap S$ dengan $\frac{1}{n} \neq 0$ .
Tidak ada titik lain $x \neq 0$ yang menjadi titik limit (karena setiap titik lain dapat dipisahkan oleh jarak positif terisolasi).
Jadi himpunan titik limit dari $S$ adalah $\{0\}$ .
Karena $0 \notin S$ , maka $S$ tidak memuat seluruh titik limitnya, sehingga $S$ bukan himpunan tertutup. $\blacksquare$

✏️ Latihan Soal 4 (Selisih Himpunan Terbuka dan Tertutup)

Misalkan $A$ adalah himpunan terbuka dan $B$ adalah himpunan tertutup. Buktikan bahwa $A \setminus B$ adalah himpunan terbuka.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Ingat sifat himpunan: $A \setminus B = A \cap B^c$ .

Karena $B$ tertutup, maka komplemennya $B^c = \mathbb{R} \setminus B$ adalah himpunan terbuka.
$A \setminus B$ adalah irisan dari dua himpunan terbuka $A$ dan $B^c$ .
Berdasarkan hasil Latihan 2, irisan dua himpunan terbuka selalu terbuka. Disimpulkan $A \setminus B$ terbuka. $\blacksquare$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Sifat Archimedes & Kerapatan Bilangan Rasional
Sub-Topik Selanjutnya: Himpunan Kompak & Teorema Heine-Borel →

1. Persekitaran, Himpunan Terbuka, & Himpunan Tertutup

2. Titik Limit & Karakterisasi Himpunan Tertutup

3. Contoh Pembuktian Himpunan Terbuka

Latihan Soal Interaktif

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (2)

Himpunan Kompak dan Teorema Heine-Borel

Sifat Archimedes dan Kerapatan Bilangan Rasional

Title