Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Real

Jika $\displaystyle S =\left\{\frac{n}{2m} + \frac{6m}{n} : n,m\in\mathbb{N}\right\}$, maka $\inf(S) = \dots$ dan $\sup(S) = \dots$

Misalkan $a_i > 0,\forall i = 1,2,3,\dots,2016$. Jika $(a_1a_2\dots a_{2016})^{\frac{1}{2016}} = 2$, maka $(1 + a_1)(1+ a_2)\dots(1 +a_{2016}) \ge \dots$

Jika barisan bilangan real $(x_n)$ memenuhi sifat $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{2n} + x_{2n + 1}) = 315$ dan $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{2n} + x_{2n - 1}) = 2016$, maka $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{x_{2n}}{x_{2n+1}} = \dots$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k = 1}^n \frac{8k^2}{k^4 + 1} = \dots$

Untuk setiap $n\in\mathbb{N}$, $f_n(x) = nx(1 - x^2)^n,$ untuk setiap $x, 0\le x\le 1,$ dan $\displaystyle a_n = \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x.$ Jika $s_n = \sin(\pi a_n),$ untuk setiap $n\in\mathbb{N}$, maka $\displaystyle \lim_{n\to\infty} s_n = \dots$

Jika $E = \{f \mid f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}\text{ fungsi kontinu dengan } f(x)\in\mathbb{Q},\forall x\in\mathbb{R}\}$, maka $E = \dots$

Diberikan fungsi $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ dengan $f(x) = 4x$ untuk bilangan rasional $x$, dan $f(x) = x + 6$ untuk bilangan irasional $x$. Jika $E = \{x\in\mathbb{R} : f\text{ kontinu di } x\}$ maka himpunan semua titik limit $E$ adalah $\dots$

Diketahui $\displaystyle a < \frac{\pi}{2}$. Jika $M < 1$ dengan $|\cos x - \cos y | \le M|x - y|,$ untuk setiap $x,y\in[0,a],$ maka $M = \dots$

Diketahui himpunan $E\subseteq \mathbb{R}$. Didefinisikan fungsi $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, dengan $f(x) = \inf\{|x - y| : y\in E\}$ untuk setiap $x\in\mathbb{R}$. Buktikan bahwa fungsi $f$ kontinu pada $\mathbb{R}$.

Diketahui fungsi $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ terdiferensial hingga tingkat 2. Jika terdapat bilangan positif $A$ dan $B$ dengan sifat $|f(x)| \le A$ dan $|f''(x)| \le B$ untuk setiap $x\in\mathbb{R},$ buktikan bahwa $|f'(0)| \le 2\sqrt{AB}.$

Diketahui fungsi $f$ kontinu pada $[0,1]$. Didefinisikan $f_0 = f$ pada $[0,1]$ dan untuk setiap $n\in\mathbb{N}$, $f_{n + 1}(x) = \int_0^x f_n(t)\,\mathrm{d}t\quad\text{untuk setiap } x\in[0,1].$

Buktikan bahwa barisan fungsi $(f_n)$ konvergen seragam pada $[0,1]$ ke fungsi nol.