Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Aljabar Linear

Jika $u = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \text{ dan } v = \begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix},$ maka $uAv^T = \dots$

Misalkan $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -4 & -2 \end{bmatrix},$ maka $A^{2016} = \dots$

Diberikan persamaan linear $\begin{aligned} x + y + z &= 1 \\ x + ay + 2z &= -1 \\ x + a^2y + 4z &= 2 \\ 2x + (a + 1)y + 3z &= 0 \end{aligned}$ Nilai-nilai $a$ yang membuat sistem persamaan linear tersebut mempunyai solusi tunggal adalah $\dots$

Terhadap basis $\{1 + x, x + x^2, 1 + x^2\}$, matriks representasi transformasi linear $T : P_2\to P_2$ adalah $\begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 &-1 & 1 \end{bmatrix}.$ Maka $T(x - x^2) = \dots$

Pemetaan linear $T : P_2 \to \mathbb{R}^2$ memenuhi $T(1 + x) = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}, T(x + x^2) = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \text{ dan } T(1 + x^2) = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}.$ Salah satu basis $\text{Ker}(T)$ adalah $\dots$

Diketahui $\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}$ adalah vektor eigen matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ untuk nilai eigen $\lambda$. Maka nilai eigen $A$ selain $\lambda$ adalah $\dots$

Komponen baris ke-$i$ kolom ke-$j$ matriks $A$ yang berukuran $n\times n$ adalah $1$ jika $i + j$ ganjil dan $0$ jika $i + j$ genap. Jika $n$ ganjil, multiplisitas aljabar $0$ sebagai nilai eigen $A$ adalah $\dots$

Untuk $f,g\in C[0,1]$ didefinisikan hasil kali dalam $\displaystyle \langle f,g\rangle = \int_0^1 f(x)g(x)\,\mathrm{d}x$. Agar fungsi $f(x) = \sin kx$ dan $g(x) = \cos 7x$ tegak lurus pada ruang hasil kali dalam tersebut, maka nilai konstanta $k$ adalah $\dots$

Diberikan matriks $A$ ukuran $n\times n$, dengan entri-entri $a_{ij} = \binom{i + j}{j - 1}.$ Hitunglah determinan $A_n$, jika didefinisikan $\binom{x}{n} = \frac{x(x - 1)(x - 2)\dots(x - n + 1)}{n!}$ untuk setiap bilangan real $x$ dan bilangan asli $n$ dengan ketentuan $\binom{x}{0} = 1.$

Di $\mathbb{R}^{2\times 2}$ definisikan hasil kali dalam $\langle A,B\rangle = \text{tr}(B^T A)$. Jika $W = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\right\},$ tentukan $W^{\perp},$ yaitu komplemen ortogonal dari $W$.

Diberikan $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$, kita definisikan pemetaan $T : \mathbb{R}^{n\times n} \to \mathbb{R}^{n\times n}$ sebagai $T(X) = AX$, untuk setiap $X\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Jika $\text{nullity}(A) = k$, tentukan $\text{nullity}(T)$.