Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Analisis Kompleks

Hitunglah $(i - 1)^{49}\left(\cos\frac{\pi}{40} + i \sin \frac{\pi}{40}\right)^{10}.$

Diketahui fungsi $u(x,y) = e^x(x \cos y - y\sin y).$ Selidiki, apakah ada fungsi harmonik $v(x,y)$ sehingga $f(z) = f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y)$ analitik. Jika ada, tuliskan.

Carilah nilai maksimum dari $|z^2 + 2z - 3|$ pada cakram satuan tertutup $|z| \le 1$.

Tentukan residu dari fungsi $f(z)= \frac{e^{1/z}}{z^2 + 1}$ di $z = 0$.

Diberikan bilangan-bilangan kompleks $z_1,z_2$, dan $z_3$ yang memenuhi $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ dan $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$. Buktikan bahwa $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0.$

Diberikan $S$ adalah sebuah domain (himpunan terbuka dan terhubung) dan $\gamma$ adalah sebuah kurva tertutup di dalam $S$. Diketahui fungsi $f(z)$ analitik pada $S$ dan $f'(z)$ kontinu pada $S$. Buktikan bahwa $\int_{\gamma} \overline{f(z)}f'(z)\,\mathrm{d}z$ bernilai imajiner murni.