Naskah Soal ONMIPA PT 2016 — Struktur Aljabar

Orde dari grup $\displaystyle \frac{\mathbb{Z}_{12}\times\mathbb{Z}_4}{\langle(\overline{3},\overline{2})\rangle}$ adalah $\dots$

Misalkan $\mathbb{R}[x,y]$ himpunan semua polinom real dengan dua variabel $x$ dan $y$. Jika $\varphi : \mathbb{R}[x,y]\to\mathbb{R}[x,y]$ adalah homomorfisma grup yang didefinisikan melalui $\varphi : f(x,y) \mapsto \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}.$ maka kernel dari $\varphi$ adalah $\dots$

Jika $x$ adalah unsur di ring $\mathbb{Z}[\sqrt 2] = \{a + b\sqrt 2 \mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ yang memenuhi $(17 + 12\sqrt 2)x = 1$ maka $x$ adalah $\dots$

Misalkan $F = \{0,2,4,6,8\}$. Pada $F$ didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo $n$. Bilangan asli $n$ terkecil sehingga $F$ membentuk lapangan adalah $\dots$

Misalkan $\mathbb{Z}_n$ merupakan grup penjumlahan dari bilangan bulat modulo $n$. Tentukan semua bilangan asli $n$ sehingga terdapat pemetaan bijektif $f : \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n$ dan $g : \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n$ yang membuat $f + g : \mathbb{Z}_n \to \mathbb{Z}_n$ juga bijektif.