Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Real

Diberikan fungsi tak nol $f : D \to \mathbb{R}$ dan fungsi $g : D\to \mathbb{R}$ dengan $D\subseteq \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $\frac{g(x)}{f(x)} \le 1,\quad\text{untuk setiap } x\in D.$ Berilah contoh fungsi $f$ dan fungsi $g$ yang menunjukkan bahwa belum tentu berlaku $\displaystyle \sup_{x\in D} g(x) \le \inf_{x\in D} f(x).$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left[ \left(\frac{1}{n}\right)^n +\left(\frac{2}{n}\right)^n +\dots + \left(\frac{n}{n}\right)^n\right] = \dots$

Jika barisan bilangan real positif $(a_n)$ memenuhi $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty a_n < \infty,$ maka $\lim_{n\to \infty} n^{-1} \left(\sum_{k = 1}^n \sqrt{a_k}\right)^2 = \dots$

Deret fungsi $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty \frac{(-x)^{k + 1}}{k}$ konvergen ke $\dots$ dengan interval konvergensi $\dots$

Diketahui fungsi $f$ terintegral pada $[a,b]$ dan $S = \{x\in(a,b) : f\text{ kontinu di } x\}.$ Jika $p\in S$ dan $\displaystyle \int_a^b f^2(x)\,\mathrm{d}x = 0,$ maka $p^2 + f^2(p) = \dots$

Diketahui fungsi $f : [0,1]\to\mathbb{R}$ kontinu dan $f'(x)$ ada untuk setiap $x\in(0,1).$ Jika untuk setiap $x\in(0,1)$ berlaku $0\le f'(x) \le 2f(x),$ maka rumus $f$ pada $[0,1]$ adalah $f(x) = \dots$

Diketahui fungsi $f : [a,b] \to[a,b]$ kontinu dan naik. Jika $f(a) = a$ dan $E = \{x \in[a,b] : f(x) \ge x\},$ maka $f(E) = \dots$

Diberikan fungsi $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R},$ dengan $f(x) = 1 + a_1\sin x + a_2\sin 2x + \dots + a_n \sin nx,$ untuk setiap $x\in \mathbb{R}.$ Jika $|f(x) - 1| = 2\sin 2x,$ maka nilai $|a_1 + 2a_2 + \dots + na_n| = \dots$

Diketahui fungsi $f$ mempunyai turunan hingga tingkat ke-2 pada $[0,1]$ dan fungsi $g$ didefinisikan dengan $g(x) = f(x) + f(1 - x).$ Jika $f''(x) > 0,$ untuk setiap $x\in[0,1],$ buktikan bahwa $g$ turun pada $[0,\frac{1}{2}]$.

Diketahui fungsi $f : [0,1]\to\mathbb{R}$ terdiferensial dan tidak ada $x$ dengan $f(x) = f'(x) = 0.$ Tunjukkan bahwa himpunan $\{x\in[0,1] : f(x) = 0\}$ berhingga.

Diketahui fungsi $f :[0,1]\to\mathbb{R}$ mempunyai turunan hingga tingkat ke-2 pada $(0,1)$. Jika $f(0) = f(1) = 0$ dan $f'' + 2f' + f \ge 0$ pada $(0,1),$ buktikan bahwa $f(x) \le 0$, untuk setiap $x\in[0,1]$.