Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Analisis Kompleks

Berapa banyak akar real berbeda dari persamaan $z^{12} = 1$ yang bukan merupakan bilangan real?

Diketahui $f : \mathbb{C}\to \mathbb{C}$ adalah fungsi analitik dengan $f(z) = u(x) + iv(y)$ untuk setiap bilangan kompleks $z = x + iy$. Jika $f(20) = 17$ dan $f(17) = 20$ maka nilai dari $f(2017)$ adalah $\dots$

Untuk sebarang bilangan kompleks $a$ dan bilangan real positif $r$, didefinisikan $D_r(a) = \{z\in\mathbb{C} : |z - a| < r\}.$

Jika fungsi $T(z) = \frac{z}{z + 1}$ memenuhi $T^{-1} (D_r(0)) = D_{2017r}(a)$ maka $a = \dots$

Misalkan $f$ adalah suku banyak berderajat 2 yang memenuhi $\frac{1}{2\pi i} \int_{|z| = 2} \frac{zf'(z)}{f(z)}\mathrm{d}z = 0, ~\text{dan}~ \frac{1}{2\pi i} \int_{|z| = 2} \frac{z^2 f'(z)}{f(z)}\mathrm{d}z = -2.$ Jika $f(0) = 2017$ maka rumus eksplisit dari $f(z)$ adalah $\dots$

Misalkan $\lambda$ bilangan kompleks yang memenuhi $\lambda^{2017} = 1$ dan $\lambda \neq 1$.

(a) Buktikan bahwa $1,\lambda,\lambda^2, \lambda^3,\dots,\lambda^{2016}$ semuanya berbeda.

(b) Hitung nilai dari $(1 +\lambda)(1 + \lambda^2)(1 + \lambda^3)\dots(1 + \lambda^{2016}).$

Diberikan bilangan real positif $M$. Misalkan fungsi analitik $f : D\to \mathbb{C}$ dengan $D =\{z : |z| \le 1\}$ mempunyai deret $f(z) = \sum_{n = 0}^\infty a_n z^n$ dan memenuhi $|f(z)| \le M$ untuk setiap $z\in D$.

(a) Untuk setiap $n\ge 1$ dan $0 < r < 1$, buktikan bahwa $|a_n| = \frac{1}{2\pi} \left|\int_{|z| = r} \frac{f(z)}{z^{n + 1}}\mathrm{d}z\right|.$

(b) Dengan menggunakan (a) dan mengambil $r\to 1$, buktikan bahwa $|a_n| \le M$ untuk setiap $n \ge 0.$