Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Aljabar Linear

Misalkan $K$ dan $L$ dua subruang berbeda dari ruang vektor real $V$. Jika $\dim(K) = \dim(L) = 4$, maka dimensi minimal yang mungkin untuk $V$ adalah $\dots$

Misalkan $P_2$ adalah ruang polinom real berderajat paling tinggi $2$. Koordinat $x^2$ terhadap basis $\{x^2 + x, x+ 1, x^2 + 1\}$ di $P_2$ adalah $\dots$

Subruang $U$ dan $W$ dari ruang vektor $\mathbb{R}^5$ masing-masing dibangun oleh $\{(1,3,-2,2,3),(1,4,-3,4,2),(2,3,-1,-2,9)\}$ dan $\{(1,3,0,2,1),(1,5,-6,6,3),(2,5,3,2,1)\}$ Salah satu basis dari subruang $U\cap W$ adalah $\dots$

Dengan hasil kali dalam $\langle A,B\rangle = \text{tr}(B^T A), A,B \in\mathbb{R}^{2\times 2},$ $\left\{\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1 & 1\\ a & 0\end{bmatrix}\right\}$ adalah himpunan ortogonal jika dan hanya jika $a = \dots$

Inti transformasi linear $T : \mathbb{R}^4 \to\mathbb{R}^3$ dibangun oleh $\{(1,2,3,4),(0,1,1,1)\}$. Jika $T(a,b,c,d) = (a + b - c, x, 0)$, maka $x = \dots$

Misalkan $A = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$. Misalkan $T$ operator linear pada $\mathbb{R}^{2\times 2}$ dengan aturan $T(X) = AX - XA,\forall X\in\mathbb{R}^{2\times 2}$. Maka $\text{rank}(T) = \dots$

Matriks $\begin{bmatrix}w & 1 \\ -1 & 3\end{bmatrix}$ memiliki dua nilai eigen yang sama jika dan hanya jika $w\in S.$ Maka $S = \dots$

Misalkan $V$ ruang vektor fungsi-fungsi $ae^{3x} \sin x + be^{3x}\cos x$. Transformasi $T : V\to V$ didefinisikan $T(f) = f' + f$ untuk setiap $f\in V$. Matriks representasi $T$ terhadap basis $\{e^{3x}\sin x, e^{3x}\cos x\}$ adalah $\dots$

Misalkan $A,B,C,D$ matriks-matriks berukuran $n\times n$. Misalkan pula $A$ memiliki balikan dan $AC = CA$. Buktikan bahwa $\det\begin{bmatrix}A & B \\C & D\end{bmatrix} = \det(AD - CB).$

Misalkan $(v_1,v_2,\dots, v_n)\in\mathbb{R}^n$ dan $A = (a_{ij})$ adalah matriks $n\times n$ dengan $a_{ij}= v_i v_j$. Jika $\text{rank}(A) = 1$, tentukanlah nilai $k$ yang memenuhi $(I + A)^{-1} = I - \frac{1}{k}A.$

Misalkan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1\end{bmatrix}, \mathbf{A} = [\mathbf{v}~\mathbf{v}]$ dan $K = \{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^2 \mid \mathbf{Ax} = \mathbf{v}\}$. Tentukan nilai $\min\{||x||_2 \mid \mathbf{x} \in K\}$.