Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Analisis Real

Nilai $k$ yang merupakan bilangan bulat terkecil yang memenuhi ketaksamaan ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<k,$ untuk $n=1,2,3,\dots ,$ adalah $\dots$

Diberikan barisan bilangan real $(x_n)$ dengan $x_n\ge 0$ untuk setiap $n$. Jika $\underset{n\to \infty }{\lim }(-1{)}^n{x}_n$ ada, maka $(x_n)$ konvergen ke $\dots$

Suatu barisan bilangan real $(a_n)$ didefinisikan dengan $a_0>0,a_1\ge 0,$ dan $a_{n+2}=1+\frac{a_{n+1}}{a_n}$. Apakah barisan $(a_n)$ konvergen? Jika ya, berapakah limitnya?

Diketahui fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dengan $f(x+y)=f(x)f(y)$, untuk setiap $x,y\in \mathbb{R}$. Jika $f$ kontinu di $x=0$ dan terdapat bilangan real $a$ dengan $g(a)=0$, maka nilai $g(x)$ untuk setiap $x\in \mathbb{R}$ adalah $\dots$

Contoh fungsi bernilai real $f$ dan $g$ diskontinu di $c$, tetapi $fg$ kontinu di $c$ adalah $\dots$

Jika fungsi $f$ kontinu pada $[a,b]$ dengan ${\int }_a^{b}f=0$, syarat yang harus dipenuhi agar $f(x)=0$ untuk semua $x\in [a,b]$ adalah $\dots$

Misalkan interval $I\subseteq \mathbb{R}$ dan $c\in I$. Fungsi-fungsi $f$ dan $g$ terdefinisi pada $I$. Turunan kedelapan dari $f$ dan $g$, yaitu $f^{(8)}$ dan $g^{(8)}$, ada dan kontinu pada $I$. Jika $f^{(k)}(c)=0$ dan $g^{(k)}(c)=0,$ untuk $k=0,1,2,\dots ,7$, tetapi $g^{(8)}(c)\ne 0$, maka $\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ adalah $\dots$

Diketahui fungsi $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ kontinu. Untuk sembarang himpunan $S\subseteq \mathbb{R}$, $\bar{S}$ menyatakan closure dari $S$, yaitu irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat $S$. Jika $S=\{x\in \mathbb{R}:f(x)\ge g(x)\}$, maka $S=\dots$

Misalkan $f(x)=a_1\sin x+a_2\sin 2x+\cdots +a_n\sin nx$ dengan $a_1,a_2,\dots ,a_n$ bilangan-bilangan real. Jika $|f(x)|\le |\sin x|$ untuk semua $x$, buktikan bahwa $|a_1+2a_2+\cdots +n{a}_n|\le 1.$

Misalkan fungsi $f$ terdiferensialkan pada $[a,b]$, $f^{\prime }(x)\ne 0$ untuk semua $x\in (a,b)$ dan $f(a)=f(b)=0$. Buktikan bahwa terdapat $c\in [a,b]$ sehingga $|f^{\prime }(c)|\ge \frac{1}{K}{\int }_a^{b}f,$ untuk bilangan positif $K$.