Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Analisis Kompleks

Tuliskan bilangan kompleks $2009^i - i^{2009}$ dalam bentuk $a + bi$ dengan $a,b$ bilangan real.

Tentukan fungsi linear entire (entire linear function) yang membawa segitiga dengan titik sudut $0,1,$ dan $i$ menjadi segitiga sebangun dengan titik sudut $0,2,$ dan $1 + i$.

Misalkan $C$ adalah himpunan semua bilangan kompleks $z$ yang memenuhi $|z| = \left|\frac{1}{z}\right|$, maka bilangan real terkecil $A$ yang memenuhi $|z - 2i| \le A$ untuk setiap $z\in C$ adalah $\dots$

Hitung nilai $\displaystyle \int_C \overline{z}\,\mathrm{d}z$ dengan $C$ adalah lengkungan kurva.

Hitung nilai $\displaystyle \oint_{|z| = 2} \frac{z + 2}{z^3 - 3z^2}\mathrm{d}z$ dengan arah lengkungan sesuai dengan arah gerak jarum jam.

Hitung nilai $\displaystyle \int_{|z| = 2} \frac{z+2}{z^2 - z}\mathrm{d}z$.

Hitung nilai $\displaystyle \oint_C z^2 \exp \left(\frac{1}{z}\right)\mathrm{d}z$ dengan $C$ adalah lingkaran $|z| = 3$ dengan arah jarum jam.

Tentukan daerah konvergensi deret $\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty \left(z^n + \frac{1}{2^nz^n}\right)$.

Misalkan $f(z)$ fungsi analitik yang terdefinisi pada himpunan buka yang memuat cakram satuan $\{z : |z| \le 1\}.$ Misalkan pula $u(x,y) = \text{Re} (f(z))$ yaitu bagian real dari nilai fungsi $f$ di titik $(x,y)$. Buktikan bahwa $\int_C \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d}y - \frac{\partial u}{\partial y}\mathrm{d}x = 0$ dengan $C$ adalah lingkaran satuan.

Diketahui deret $\displaystyle \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n$ mempunyai jari-jari konvergensi $R$, dan bilangan kompleks $z_0$. Tentukan jari-jari konvergensi deret $\sum_{n = 0}^\infty (1 + z_0^n)c_n z^n.$