Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Kombinatorika

Banyaknya himpunan bagian dari $\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$ yang memuat ketiga elemen $a,b,$ dan $f$ adalah $\dots$

Pada setiap titik sudut segitiga $ABC$ diletakkan sebuah titik. Kemudian pada sisi $AB$ diletakkan $4$ buah titik, pada sisi $BC$ diletakkan $5$ buah titik dan pada sisi $AC$ diletakkan $7$ buah titik. Banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dari titik-titik tersebut adalah $\dots$

Untuk bilangan bulat $\displaystyle n\ge 1, \sum_{k= n}^{2n} \binom{k}{n} 2^{-k} = \dots$

Banyaknya solusi bilangan bulat dari persamaan $a + b + c + d = 20$ dengan $a \ge 3, b \ge 1,c \ge 1,$ dan $d \ge 5$ adalah $\dots$

Solusi dari relasi rekurensi $\displaystyle a_{n + 1} = \frac{a_n}{1 + na_n}$ dengan $a_0 = 1$ adalah $\dots$

Bilangan bulat positif $n$ terbesar agar $2^n$ membagi koefisien dari $y^{10}$ pada ekspansi $(7y + 5)^{100}$ adalah $\dots$

Pada suatu pesta akan dibuat satu rangkaian hiasan buah yang terdiri dari buah salak, apel, dan jeruk. Paling sedikit berapa buah yang harus disediakan untuk menjamin pada rangkaian buah tersebut terdapat 8 salak atau 6 apel atau 9 jeruk?

Banyak cara memilih 4 bilangan berbeda dari himpunan $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ sehingga dari 4 bilangan terpilih tidak memuat 2 bilangan berurutan adalah $\dots$

Dari 400 bilangan bulat $1,2,\dots,400$ dipilih 201 bilangan. Buktikan bahwa di antara 201 bilangan bulat yang terpilih terdapat 2 bilangan sehingga satu dari bilangan tersebut akan membagi bilangan yang lain.

Diberikan barisan $a_1,a_2,\dots a_{2n}$ yang terdiri dari $n$ buah $1$ dan $n$ buah $-1$ dengan jumlahan parsialnya memenuhi sifat $a_1 + a_2 + \dots +a_k \ge 0\quad (k = 1,2,3\dots,2n).$

Perlihatkan bahwa banyak barisan yang demikian adalah $\displaystyle \frac{1}{n + 1}\binom{2n}{n}$.