Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Analisis Real

Nilai $k$ yang merupakan bilangan bulat terkecil yang memenuhi ketaksamaan $\displaystyle\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < k,$ untuk $n = 1,2,3,\dots,$ adalah $\dots$

Diberikan barisan bilangan real $(x_n)$ dengan $x_n \ge 0$ untuk setiap $n$. Jika $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (-1)^n x_n$ ada, maka $(x_n)$ konvergen ke $\dots$

Suatu barisan bilangan real $(a_n)$ didefinisikan dengan $a_0 > 0, a_1\ge 0,$ dan $\displaystyle a_{n +2} = 1 + \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Apakah barisan $(a_n)$ konvergen? Jika ya, berapakah limitnya?

Diketahui fungsi $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dengan $f(x + y) = f(x)f(y)$, untuk setiap $x,y\in\mathbb{R}$. Jika $f$ kontinu di $x = 0$ dan terdapat bilangan real $a$ dengan $g(a) = 0$, maka nilai $g(x)$ untuk setiap $x\in\mathbb{R}$ adalah $\dots$

Contoh fungsi bernilai real $f$ dan $g$ diskontinu di $c$, tetapi $fg$ kontinu di $c$ adalah $\dots$

Jika fungsi $f$ kontinu pada $[a,b]$ dengan $\int_a^b f = 0$, syarat yang harus dipenuhi agar $f(x) = 0$ untuk semua $x\in[a,b]$ adalah $\dots$

Misalkan interval $I\subseteq \mathbb{R}$ dan $c\in I$. Fungsi-fungsi $f$ dan $g$ terdefinisi pada $I$. Turunan kedelapan dari $f$ dan $g$, yaitu $f^{(8)}$ dan $g^{(8)}$, ada dan kontinu pada $I$. Jika $f^{(k)}(c) = 0$ dan $g^{(k)}(c) = 0,$ untuk $k = 0,1,2,\dots,7$, tetapi $g^{(8)}(c)\neq 0$, maka $\displaystyle\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ adalah $\dots$

Diketahui fungsi $f,g :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ kontinu. Untuk sembarang himpunan $S\subseteq\mathbb{R}$, $\bar{S}$ menyatakan closure dari $S$, yaitu irisan dari semua himpunan tertutup yang memuat $S$. Jika $S =\{x\in\mathbb{R} : f(x)\ge g(x)\}$, maka $S = \dots$

Misalkan $f(x) = a_1\sin x + a_2\sin 2x + \dots + a_n \sin nx$ dengan $a_1,a_2,\dots,a_n$ bilangan-bilangan real. Jika $|f(x)| \le |\sin x|$ untuk semua $x$, buktikan bahwa $|a_1 + 2a_2 + \dots + na_n|\le 1.$

Misalkan fungsi $f$ terdiferensialkan pada $[a,b]$, $f'(x) \neq 0$ untuk semua $x\in(a,b)$ dan $f(a) = f(b) = 0$. Buktikan bahwa terdapat $c\in[a,b]$ sehingga $\displaystyle|f'(c)| \ge \frac{1}{K} \int_a^b f,$ untuk bilangan positif $K$.