Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Aljabar Linear

Bentuk eselon baris tereduksi matriks $\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{bmatrix}$ adalah $\dots$

Misalkan $C(\mathbb{R})$ menyatakan ruang fungsi kontinu dari $\mathbb{R}$ ke $\mathbb{R}$. Subruang $\{f\in C(\mathbb{R}) \mid f'' + f = 0\}$ memiliki dimensi $\dots$

Matriks persegi $A$ memenuhi $A^3 = 0$. Maka matriks $A + 2I$ tak singular dan $(A + 2I)^{-1} = \dots$

Misalkan $A =\begin{bmatrix}2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$. Didefinisikan pemetaan linear $T :\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ melalui $T(x) = Ax, \forall x\in \mathbb{R}^3$. Bilangan positif $k$ terkecil yang memenuhi $\mathbb{R}^3 = \text{Peta}(T^k)$ adalah $\dots$

Misalkan $P_1$ ruang polinom real berderajat paling tinggi 1 dengan hasil kali dalam $\langle p(x), q(x)\rangle = \int_0^1 p(x) q(x)\, \mathrm{d}x$. Proses ortonormalisasi Gram-Schmidt pada himpunan $\{1,x\}$ di $P_1$ akan menghasilkan himpunan ortonormal $\dots$

Misalkan $v = \begin{bmatrix} 2 \\ 1\end{bmatrix}, A = [v ~ v]$ dan $K = \{x\in\mathbb{R}^2 \mid Ax = v\}$. Maka $\min \{||x||_2 \mid x\in K\} = \dots$

Agar matriks $\begin{bmatrix} w & 1\\ -1 & 3\end{bmatrix}$ memiliki dua nilai eigen yang sama, haruslah $w = \dots$

Contoh matriks real simetris $2\times 2$ yang semua komponennya tak nol dan semua nilai karakteristiknya negatif adalah $\dots$

Misalkan $e$ vektor di $\mathbb{R}^n$ yang semua komponennya 1. Tunjukkan $\det(I - ey^{T}),$ untuk sembarang $y\in \mathbb{R}^n$. Tentukan semua $y$ yang membuat $I - ey^{T}$ singular.

Misalkan $A$ matriks kompleks berukuran $m\times n$ dan $b \in\mathbb{C}^m$. Buktikan bahwa persamaan $Ax = b$ memiliki solusi jika dan hanya jika $b^* y = 0,$ untuk semua $y\in\mathbb{C}^m$ yang memenuhi $A^* y = 0$.