Naskah Soal ONMIPA PT 2009 — Struktur Aljabar

Diberikan 2 bilangan bulat $a = 2210$ dan $b = 1131$. Pembagi persekutuan terbesar $d$ untuk $a$ dan $b$ dinyatakan sebagai $ax + by$ untuk suatu bilangan bulat $x$ dan $y$ adalah $\dots$

Diberikan $n_1\mathbb{Z},n_2\mathbb{Z},\dots, n_k\mathbb{Z}$ ideal-ideal dalam ring $\mathbb{Z}$. Kernel pemetaan $f :\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_{n_1}\times \mathbb{Z}_{n_2}\times \dots \times \mathbb{Z}_{n_k}$ yang didefinisikan dengan $r\mapsto (r \bmod n_1, r \bmod n_2, \dots,r \bmod n_k)$ adalah $\dots$

Diberikan $F$ lapangan, $f(x)$ adalah polinomial berderajat $n$ dalam $F[x]$ yang irredusibel dan $\alpha$ adalah suatu akar polinomial $f(x)$. Jika $F_2$ adalah lapangan dengan 2 elemen dan $f(x) = 1 + x + x^2$, maka elemen-elemen $F[x] / \langle f(x)\rangle$ adalah $\dots$

Banyaknya elemen idempoten dalam ring $\mathbb{Z}_{210}$ adalah $\dots$

Diberikan $n$ suatu bilangan bulat positif. Didefinisikan $n\mathbb{R} = \{nr \mid r\in\mathbb{R}\}$ yang merupakan subgrup $\mathbb{R}$ terhadap operasi penjumlahan. Maka $\mathbb{R}/2009\mathbb{R}$ adalah $\dots$

Misalkan $G = \{e,\theta,a,b,c,\theta a, \theta b, \theta c\}$ suatu grup dengan $a^2 = b^2 = c^2 = \theta, \theta^2 = e, ab = \theta ba, bc = \theta cb = a, ca = \theta ac = b$. Senter dari $G$ adalah $\dots$

Jika $F_1$ dan $F_2$ adalah lapangan, maka banyaknya ideal dari $F_1\times F_2$ adalah $\dots$

Misalkan $f$ adalah homomorfisma dari suatu grup siklis yang berorder 8 pada suatu grup siklik yang berorder 4. $\ker f$ adalah $\dots$

Diberikan $X$ suatu himpunan tak kosong, $K$ lapangan dan $K[X]$ ruang vektor semua fungsi pada $X$ yang bernilai $K$. Adapun $S(x)$ menyatakan himpunan semua fungsi bijektif dari $X$ ke $X$. Jika $G$ sebarang grup aditif, maka aksi (action) grup $G$ pada $X$ adalah suatu homomorfisma grup dari $G$ ke $S(x)$. Selanjutnya, didefinisikan pengaitan berikut: $\psi : S(x) \to K[X], \sigma \mapsto \sigma_*$ dengan $\sigma_* (f)(x) := f(\sigma^{-1} x)$ untuk sebarang $f\in K[X].$

(a) Buktikan bahwa $\psi$ merupakan homomorfisma grup.

(b) Jika $S$ adalah aksi grup $G$ pada $X$, maka buktikan bahwa ada homomorfisma grup berikut: $S_* : G \to K[X], S_*(g) = S(g)_*.$