🌱
onmipa.filzabuana.id
Analisis Real

Teorema Apit dan Konvergensi Barisan Monoton

Aljabar limit, Teorema Apit (Squeeze Theorem), Teorema Konvergensi Monoton (MCT), dan konstruksi bilangan Euler e.

📅 Dibuat: 5 Agustus 2026
🔄 Diperbarui: 5 Agustus 2026

Teorema limit menyediakan alat aljabar dan struktur geometri (apit & monotonitas) untuk menganalisis konvergensi barisan yang rumit tanpa harus kembali ke definisi ε−K\varepsilon-K dasar secara berulang.

1. Teorema Aljabar Limit & Teorema Apit

Teorema (Teorema Aljabar Limit)

Misalkan (xn)(x_n) dan (yn)(y_n) konvergen ke xx dan yy. Maka:

  1. lim⁡(xn±yn)=x±y\lim (x_n \pm y_n) = x \pm y
  2. lim⁡(cxn)=cx\lim (c x_n) = c x untuk sebarang konstanta c∈Rc \in \mathbb{R}
  3. lim⁡(xnyn)=xy\lim (x_n y_n) = xy
  4. lim⁡(xnyn)=xy\lim \left( \frac{x_n}{y_n} \right) = \frac{x}{y}, dengan syarat yn≠0y_n \neq 0 dan y≠0y \neq 0
Teorema (Teorema Apit (Squeeze Theorem))

Misalkan (xn),(yn),(x_n), (y_n), dan (zn)(z_n) memenuhi xn≤yn≤znx_n \leq y_n \leq z_n untuk semua n≥Kn \geq K. Jika lim⁡xn=lim⁡zn=L\lim x_n = \lim z_n = L, maka barisan (yn)(y_n) konvergen dan:

lim⁡n→∞yn=L\lim_{n \to \infty} y_n = L

2. Teorema Konvergensi Monoton (MCT)

Definisi (Barisan Monoton)
  1. (xn)(x_n) monoton naik jika xn≤xn+1x_n \leq x_{n+1} untuk semua n∈Nn \in \mathbb{N}.
  2. (xn)(x_n) monoton turun jika xn≥xn+1x_n \geq x_{n+1} for semua n∈Nn \in \mathbb{N}.
Teorema (Teorema Konvergensi Monoton (Monotone Convergence Theorem))

Barisan bilangan real (xn)(x_n) yang monoton konvergen jika dan hanya jika barisan tersebut terbatas.

  • Jika (xn)(x_n) monoton naik dan terbatas di atas, maka lim⁡xn=sup⁡{xn:n∈N}\lim x_n = \sup \{ x_n : n \in \mathbb{N} \}.
  • Jika (xn)(x_n) monoton turun dan terbatas di bawah, maka lim⁡xn=inf⁡{xn:n∈N}\lim x_n = \inf \{ x_n : n \in \mathbb{N} \}.

3. Contoh Pembuktian Barisan Rekursif

Contoh (Barisan Akar Rekursif)

Misalkan x1=1x_1 = 1 dan xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} untuk n≥1n \geq 1. Buktikan bahwa (xn)(x_n) konvergen dan tentukan nilai limitnya.

Penyelesaian:

  1. Keterbatasan: Buktikan xn<2x_n < 2 dengan induksi. Untuk n=1n=1, x1=1<2x_1 = 1 < 2. Jika xk<2x_k < 2, maka xk+1=2+xk<2+2=2x_{k+1} = \sqrt{2 + x_k} < \sqrt{2 + 2} = 2. Terbatas di atas oleh 22.
  2. Monotonitas: Perhatikan xn+12−xn2=2+xn−xn2=(2−xn)(1+xn)>0x_{n+1}^2 - x_n^2 = 2 + x_n - x_n^2 = (2 - x_n)(1 + x_n) > 0 karena xn<2x_n < 2. Jadi xn+1>xnx_{n+1} > x_n (monoton naik).
  3. Konvergensi: Berdasarkan MCT, (xn)(x_n) konvergen ke LL. L=2+L  ⟹  L2−L−2=0  ⟹  (L−2)(L+1)=0L = \sqrt{2 + L} \implies L^2 - L - 2 = 0 \implies (L - 2)(L + 1) = 0 Karena xn>0x_n > 0, dipastikan L=2L = 2. ■\blacksquare

Latihan Soal Interaktif

✏️ Latihan Soal 1 (Konvergensi Barisan Rekursif Turun)

Misalkan x1=8x_1 = 8 dan xn+1=12xn+2x_{n+1} = \frac{1}{2}x_n + 2 untuk n∈Nn \in \mathbb{N}. Buktikan (xn)(x_n) monoton turun, terbatas di bawah oleh 44, dan tentukan limitnya.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  1. Keterbatasan Bawah: Induksi xn≥4x_n \geq 4. x1=8≥4x_1 = 8 \geq 4. Jika xk≥4x_k \geq 4, maka xk+1=12xk+2≥12(4)+2=4x_{k+1} = \frac{1}{2}x_k + 2 \geq \frac{1}{2}(4) + 2 = 4.
  2. Monoton Turun: xn+1−xn=12xn+2−xn=2−12xn≤2−12(4)=0  ⟹  xn+1≤xnx_{n+1} - x_n = \frac{1}{2}x_n + 2 - x_n = 2 - \frac{1}{2}x_n \leq 2 - \frac{1}{2}(4) = 0 \implies x_{n+1} \leq x_n.
  3. Limit: Berdasarkan MCT, (xn)→L(x_n) \to L. Ambil limit pada rekursi: L=12L+2  ⟹  12L=2  ⟹  L=4L = \frac{1}{2}L + 2 \implies \frac{1}{2}L = 2 \implies L = 4. ■\blacksquare
✏️ Latihan Soal 2 (Limit Pengapit Pangkat)

Gunakan Teorema Apit untuk menghitung limit barisan:

lim⁡n→∞(2n+3n)1/n\lim_{n \to \infty} \left( 2^n + 3^n \right)^{1/n}

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan: Perhatikan bahwa 3n<2n+3n<3n+3n=2⋅3n3^n < 2^n + 3^n < 3^n + 3^n = 2 \cdot 3^n. Pangkatkan seluruh ruas dengan 1/n>01/n > 0:

(3n)1/n<(2n+3n)1/n<(2⋅3n)1/n  ⟹  3<(2n+3n)1/n<3⋅21/n(3^n)^{1/n} < (2^n + 3^n)^{1/n} < (2 \cdot 3^n)^{1/n} \implies 3 < (2^n + 3^n)^{1/n} < 3 \cdot 2^{1/n}

Karena lim⁡n→∞3=3\lim_{n \to \infty} 3 = 3 dan lim⁡n→∞3⋅21/n=3⋅1=3\lim_{n \to \infty} 3 \cdot 2^{1/n} = 3 \cdot 1 = 3, berdasarkan Teorema Apit disimpulkan:

lim⁡n→∞(2n+3n)1/n=3■\lim_{n \to \infty} (2^n + 3^n)^{1/n} = 3 \quad \blacksquare

✏️ Latihan Soal 3 (Perkalian Barisan Nol dan Barisan Terbatas)

Buktikan bahwa jika lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x_n = 0 dan (yn)(y_n) adalah barisan terbatas (tidak harus konvergen), maka lim⁡n→∞(xnyn)=0\lim_{n \to \infty} (x_n y_n) = 0.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan: Karena (yn)(y_n) terbatas, terdapat M>0M > 0 sehingga ∣yn∣≤M|y_n| \leq M untuk semua n∈Nn \in \mathbb{N}. Diberikan ε>0\varepsilon > 0. Karena xn→0x_n \to 0, terdapat K∈NK \in \mathbb{N} sehingga ∣xn∣<εM|x_n| < \frac{\varepsilon}{M} untuk n≥Kn \geq K. Maka untuk n≥Kn \geq K:

∣xnyn−0∣=∣xn∣∣yn∣≤∣xn∣M<(εM)M=ε|x_n y_n - 0| = |x_n| |y_n| \leq |x_n| M < \left(\frac{\varepsilon}{M}\right) M = \varepsilon

Terbukti bahwa lim⁡n→∞(xnyn)=0\lim_{n \to \infty} (x_n y_n) = 0. ■\blacksquare

🔗

Materi Terkait (Linked References) (3)

Analisis Real Bab 2

Limit Barisan dan Konvergensi

Definisi formal limit barisan (epsilon-K), ketunggalan limit, dan teorema keterbatasan barisan konvergen.

Analisis Real Bab 2

Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass

Subbarisan, kriteria konvergensi subbarisan, Teorema Bolzano-Weierstrass, dan titik limit barisan.

Analisis Real Bab 7

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Kumpulan lengkap 20 soal isian singkat dan 10 soal essay pembuktian analisis real tingkat ONMIPA PT beserta pembahasan terstruktur.