Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Jawaban Singkat: $1$

Pembahasan Lengkap: Perhatikan $S = \{ 1/2, 2/3, 3/4, \dots \}$. Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$, $\frac{n}{n+1} < 1$, sehingga $1$ adalah batas atas $S$. Berdasarkan Karakterisasi Epsilon Supremum, untuk sebarang $\varepsilon > 0$, pilih $n > \frac{1}{\varepsilon} - 1$, maka $1 - \varepsilon < \frac{n}{n+1}$. Jadi $\sup S = 1$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $\sqrt{3}$

Pembahasan Lengkap: Dengan ketaksamaan AM-GM, $x_{n+1} \ge \sqrt{3}$ untuk $n \ge 1$. Barisan monoton turun dan terbatas di bawah oleh $\sqrt{3}$. Berdasarkan Teorema Konvergensi Monoton, $(x_n) \to L$. Ambil limit pada rekursi: $L = \frac{1}{2}(L + 3/L) \implies L = \sqrt{3}$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $\frac{\pi}{4}$

Pembahasan Lengkap: Ubah menjadi Jumlah Riemann: $\sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + (k/n)^2} \cdot \frac{1}{n}$. Berdasarkan Definisi Integral Riemann, limit saat $n \to \infty$ sama dengan $\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx = [\arctan(x)]_0^1 = \frac{\pi}{4}$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: Tidak ada nilai $a$ (himpunan kosong $\emptyset$)

Pembahasan Lengkap: Sebagaimana dibuktikan pada Kekontinuan Seragam, $x^2$ tidak kontinu seragam pada $\mathbb{R}$ karena untuk $u_n = n$ dan $v_n = n + 1/n$, $|u_n - v_n| \to 0$ tetapi $|f(u_n) - f(v_n)| = 2 + 1/n^2 \ge 2$. Konstanta $a$ tidak mempengaruhi hal ini. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $1$

Pembahasan Lengkap: Berdasarkan TDK I, $f'(x) = \sqrt{1+x^4}$. Karena $f(0) = 0 \implies f^{-1}(0) = 0$, maka $(f^{-1})'(0) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $c = 1$

Pembahasan Lengkap: Gunakan deret Taylor $e^{cx} = 1 + cx + \frac{c^2 x^2}{2} + O(x^3)$. Pembilang menjadi $(c-1)x + \frac{c^2 x^2}{2} + \dots$. Agar limitnya berhingga saat $x \to 0$, koefisien $x$ harus nol $\implies c = 1$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $\frac{1}{2}$

Pembahasan Lengkap: Kalikan sekawan: $x_n \sqrt{n} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/n} + 1} \to \frac{1}{2}$ saat $n \to \infty$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $6$ titik ($x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$)

Pembahasan Lengkap: Untuk $x \in \mathbb{Z}$, $f(x) = 0$. Untuk $x \notin \mathbb{Z}$, $f(x) = -1$. Titik diskontinu terjadi di seluruh bilangan bulat pada $[0, 5]$, sebanyak $6$ titik. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $\frac{5}{2}$

Pembahasan Lengkap: Untuk $n \ge 1$, fungsi $g(n) = 2^n + 2^{-n}$ monoton naik. Nilai terkecil untuk $n \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ dicapai pada $n = 1$: $g(1) = 2 + 1/2 = 5/2$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $f(x) = 0$

Pembahasan Lengkap: Untuk $x > 0$, $\frac{1}{x} \int_0^x f(u) \, du = 0 \implies \int_0^x f(u) \, du = 0$. Diferensialkan terhadap $x$ via TDK I diperoleh $f(x) = 0$ untuk seluruh $x \in [0, 1]$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $1$

Pembahasan Lengkap: Perhatikan $1 \le n! \le n^n$. Maka $1^{1/n^2} \le (n!)^{1/n^2} \le (n^n)^{1/n^2} = n^{1/n}$. Karena $\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1$, berdasarkan Teorema Apit, $\lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n^2} = 1$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $0$

Pembahasan Lengkap: Karena $f$ kontinu di $0$, $f(0) = \lim f(1/n) = 0$. Hitung turunan di $0$: $f'(0) = \lim_{n \to \infty} \frac{f(1/n) - f(0)}{1/n - 0} = \lim_{n \to \infty} \frac{0}{1/n} = 0$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $\pi$

Pembahasan Lengkap: Integrasi parsial: $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x$. Evaluasi $[-\pi \cos \pi + \sin \pi] - [0] = \pi(1) = \pi$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $1$

Pembahasan Lengkap: Deret Taylor $\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}$. Berdasarkan Deret Kuasa, deret geometri ini konvergen untuk $|-x^2| < 1 \iff |x| < 1$, sehingga $R = 1$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $[1, 3)$

Pembahasan Lengkap: Gunakan Uji Rasio: $L = \lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1 \implies R = 1$. Pusat $c = 2 \implies$ konvergen pada $(1, 3)$. Pada $x = 1$, deret berganti tanda $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ konvergen. Pada $x = 3$, deret harmonik $\sum \frac{1}{n}$ divergen. Jadi intervalnya $[1, 3)$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $\frac{1}{4}$

Pembahasan Lengkap: Cari $x$ sehingga $f(x) = 2 \implies x^3 + x = 2 \implies x = 1$. Maka $g(2) = 1$. Karena $f'(x) = 3x^2 + 1 \implies f'(1) = 4$, maka $g'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $\frac{4}{e}$

Pembahasan Lengkap: Misalkan $P_n = \frac{1}{n} \left(\prod_{k=1}^n (n+k)\right)^{1/n} = \left(\prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{k}{n}\right)\right)^{1/n}$. Hitung $\ln P_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \ln\left(1 + \frac{k}{n}\right) \to \int_0^1 \ln(1+x) \, dx = [(1+x)\ln(1+x) - x]_0^1 = 2\ln 2 - 1 = \ln(4/e)$. Maka $P_n \to \frac{4}{e}$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $0$

Pembahasan Lengkap: Karena $|\sin(1/x)| \le 1$, $|\sin(1/x) \cdot x| \le |x|$. Menggunakan Teorema Apit, saat $x \to 0^+$, limitnya adalah $0$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $\frac{1}{2}$

Pembahasan Lengkap: Integrasi parsial dengan $u = \frac{1}{1+x}$ dan $dv = n x^{n-1} dx \implies v = x^n$: $\int_0^1 \frac{n x^{n-1}}{1+x} \, dx = \left[ \frac{x^n}{1+x} \right]_0^1 + \int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^2} \, dx = \frac{1}{2} + \int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^2} \, dx$ Karena $0 \le \int_0^1 \frac{x^n}{(1+x)^2} \, dx \le \int_0^1 x^n \, dx = \frac{1}{n+1} \to 0$, maka limitnya adalah $\frac{1}{2}$. $\blacksquare$

Jawaban Singkat: $\infty$ (tidak terbatas di atas)

Pembahasan Lengkap: Pilih $n = 1$ dan biarkan $m \to \infty$. Elemen $x_m = m + \frac{4}{m} \to \infty$. Karena himpunan tidak memiliki batas atas di $\mathbb{R}$, $\sup S = \infty$. $\blacksquare$

Pembahasan Lengkap: Definisikan $y_n = x_n - \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^2}$. Karena deret $\sum \frac{1}{k^2}$ konvergen, tail sum $T_n = \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k^2}$ konvergen menuju $0$. Perhatikan $y_{n+1} - y_n = x_{n+1} - x_n + \frac{1}{n^2} \ge 0$, sehingga $(y_n)$ monoton naik. Karena $(x_n)$ dan $(T_n)$ terbatas, $(y_n)$ terbatas di atas. Berdasarkan Teorema Konvergensi Monoton, $(y_n)$ konvergen. Karena $x_n = y_n + T_n$, $(x_n)$ konvergen. $\blacksquare$

Pembahasan Lengkap:

1. Andaikan $f$ tidak konstan. Maka terdapat $a, b \in [0, 1]$ dengan $f(a) < f(b)$.
2. Berdasarkan Teorema Kerapatan Irasional, terdapat bilangan irasional $z \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ di antara $f(a)$ dan $f(b)$.
3. Karena $f$ kontinu, berdasarkan Teorema Nilai Antara (IVT), terdapat $c \in (a, b)$ sehingga $f(c) = z \notin \mathbb{Q}$.
4. Kontradiksi dengan hipotesis $f(x) \in \mathbb{Q}$ untuk semua $x$. Jadi $f$ haruslah konstan. $\blacksquare$

Pembahasan Lengkap:

1. Diberikan $\varepsilon > 0$. Karena $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$, terdapat $K > 0$ sehingga $|f(x) - L| < \frac{\varepsilon}{4}$ untuk semua $x \ge K$.
2. Maka untuk $x, y \ge K$, $|f(x) - f(y)| \le |f(x) - L| + |f(y) - L| < \frac{\varepsilon}{2}$.
3. Pada interval tertutup $[0, K+1]$, $f$ kontinu pada set kompak. Berdasarkan Teorema Kekontinuan Seragam pada Kompak, $f$ kontinu seragam pada $[0, K+1]$, sehingga terdapat $\delta_1 > 0$ di mana $|x-y| < \delta_1 \implies |f(x)-f(y)| < \varepsilon$.
4. Pilih $\delta = \min\{\delta_1, 1\}$. Maka untuk semua $x, y \in [0, \infty)$ dengan $|x-y| < \delta$, $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$. Terbukti $f$ kontinu seragam pada $[0, \infty)$. $\blacksquare$

Pembahasan Lengkap:

1. Definisikan $g(x) = f(x) - kx$. Maka $g'(x) = f'(x) - k$.
2. $g'(a) < 0 \implies g$ menurun di dekat $a$. $g'(b) > 0 \implies g$ meningkat di dekat $b$.
3. Berdasarkan Teorema Nilai Ekstrem, $g$ mencapai minimum pada $[a, b]$ di suatu titik $c \in (a, b)$.
4. Berdasarkan Teorema Fermat, $g'(c) = 0 \implies f'(c) = k$. $\blacksquare$

Pembahasan Lengkap:

1. Ekspansi Taylor $f(x) = e^x$ di sekitar $c = 0$ orde $n=2$ (lihat Teorema Taylor): $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + R_2(x)$
2. Suku sisa Lagrange $R_2(x) = \frac{f'''(\xi)}{3!} x^3 = \frac{e^\xi}{6} x^3$ untuk suatu $\xi \in (0, x)$.
3. Karena $x > 0$ dan $\xi > 0$, $e^\xi > 1 > 0 \implies R_2(x) > 0$.
4. Maka $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + R_2(x) > 1 + x + \frac{x^2}{2}$. $\blacksquare$

Pembahasan Lengkap:

1. Karena $\int_0^1 f(x) x^n dx = 0$ untuk setiap $n$, maka $\int_0^1 f(x) P(x) dx = 0$ untuk setiap polinomial $P(x)$.
2. Berdasarkan Teorema Aproksimasi Weierstrass, terdapat barisan polinomial $(P_k)$ yang konvergen seragam ke $f$ pada $[0, 1]$.
3. Berdasarkan Pertukaran Limit dan Integral: $\int_0^1 (f(x))^2 \, dx = \int_0^1 f(x) \left(\lim_{k \to \infty} P_k(x)\right) dx = \lim_{k \to \infty} \int_0^1 f(x) P_k(x) \, dx = 0$
4. Karena $(f(x))^2 \ge 0$ dan kontinu, $\int_0^1 (f(x))^2 dx = 0 \implies f(x) = 0$ untuk semua $x \in [0, 1]$. $\blacksquare$

Pembahasan Lengkap:

1. Untuk $x \neq y$, bagi dengan $|x - y|$: $\left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le |x - y|$
2. Ambil limit saat $y \to x$: $|f'(x)| = \lim_{y \to x} \left| \frac{f(x) - f(y)}{x - y} \right| \le \lim_{y \to x} |x - y| = 0$
3. Maka $f'(x) = 0$ untuk seluruh $x \in \mathbb{R}$.
4. Berdasarkan konsekuensi Teorema Nilai Rataan (MVT), $f$ adalah fungsi konstan. $\blacksquare$

Pembahasan Lengkap:

1. Untuk setiap $x \in \mathbb{R}$, $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \le \frac{1}{n^2} = M_n$.
2. Karena deret $p=2$ yaitu $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergen, berdasarkan Teorema Uji M-Weierstrass, deret konvergen seragam pada $\mathbb{R}$.
3. Berdasarkan Teorema Pelestarian Kekontinuan, fungsi limit deret tersebut kontinu pada $\mathbb{R}$. $\blacksquare$

Pembahasan Lengkap:

1. Pilih $g(x) = f(x)$. Karena $f$ kontinu, $g$ kontinu pada $[a, b]$.
2. Hipotesis memberikan $\int_a^b (f(x))^2 \, dx = 0$.
3. Karena $(f(x))^2 \ge 0$ dan kontinu pada $[a, b]$, haruslah $(f(x))^2 = 0 \implies f(x) = 0$ untuk seluruh $x \in [a, b]$. $\blacksquare$

Pembahasan Lengkap:

1. Untuk $0 \le x < 1$, $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$.
2. Untuk $x = 1$, $\lim_{n \to \infty} 1^n = 1$.
3. Fungsi limit titik demi titiknya adalah: $f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \le x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}$
4. Suku-suku $f_n(x) = x^n$ kontinu pada $[0, 1]$, namun $f(x)$ diskontinu di $x = 1$ (karena $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 0 \neq 1 = f(1)$).
5. Hal ini menunjukkan bahwa konvergensi titik demi titik tidak melestarikan kekontinuan (lihat Konvergensi Titik demi Titik). $\blacksquare$