Konvergensi Seragam Barisan dan Deret Fungsi

Pembahasan:

• Fungsi limitnya $f(x)=0$ untuk $x\in [0,1)$ dan $f(1)=1$.
• Hitung norma supremum selisih pada $[0,1)$: $\Vert f_n-f{\Vert }_{[0,1)}={\sup }_{x\in [0,1)}|x^n-0|=1$
• Karena ${\lim }_{n\to \infty }\Vert f_n-f{\Vert }_{[0,1)}=1\ne 0$, berdasarkan Kriteria Norma-Supremum disimpulkan $(f_n)$ tidak konvergen seragam pada $[0,1]$. $■$

Pembahasan:

• Untuk $x=0$, $f_n(0)=0\to 0$.
• Untuk $x\in (0,1]$, ${\lim }_{n\to \infty }\frac{nx}{1+nx}=\lim \frac{x}{1/n+x}=1$.
• Fungsi limit $f(x)=0$ untuk $x=0$ dan $f(x)=1$ untuk $x\in (0,1]$.
• Karena $f_n$ kontinu pada $[0,1]$ tetapi fungsi limit $f$ diskontinu di $x=0$, berdasarkan kontraposisi Teorema Pelestarian Kekontinuan, $(f_n)$ tidak konvergen seragam pada $[0,1]$. $■$

Pembahasan:

• Diberikan $\epsilon >0$.
• Karena $f_n\to f$ seragam, terdapat $H_1$ sehingga $|f_n(x)-f(x)|<\frac{\epsilon }{2}$ untuk $n\ge H_1$ dan semua $x\in A$.
• Karena $g_n\to g$ seragam, terdapat $H_2$ sehingga $|g_n(x)-g(x)|<\frac{\epsilon }{2}$ untuk $n\ge H_2$ dan semua $x\in A$.
• Pilih $H=\max \{H_1,H_2\}$. Maka untuk $n\ge H$ dan semua $x\in A$: $|(f_n(x)+g_n(x))-(f(x)+g(x))|\le |f_n(x)-f(x)|+|g_n(x)-g(x)|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon$
• Terbukti $f_n+g_n\to f+g$ secara seragam pada $A$. $■$

Pembahasan:

• Hitung selisih: $|f_n(x)-f(x)|=\left|\left(x+\frac{1}{n}\right)-x\right|=\frac{1}{n}$.
• $\Vert f_n-f{\Vert }_{\mathbb{R}}={\sup }_{x\in \mathbb{R}}\frac{1}{n}=\frac{1}{n}$.
• Karena ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$, maka $f_n\to f$ secara seragam pada $\mathbb{R}$. $■$