🌱
onmipa.filzabuana.id
Analisis Real

Konvergensi Seragam Barisan dan Deret Fungsi

Konvergensi titik demi titik (pointwise), keterbatasannya, definisi konvergensi seragam, kriteria norma-supremum, dan Kriteria Cauchy.

📅 Dibuat: 5 Agustus 2026
🔄 Diperbarui: 5 Agustus 2026

Menganalisis barisan fungsi (fn)(f_n) membutuhkan konsep konvergensi yang mampu mewariskan sifat-sifat analitik (kekontinuan, keterintegralan, turunan) dari suku-suku fnf_n ke fungsi limit ff.

1. Konvergensi Titik demi Titik (Pointwise)

Definisi (Konvergensi Titik demi Titik (Pointwise))
#

Barisan fungsi (fn)(f_n) pada A⊆RA \subseteq \mathbb{R} dikatakan konvergen titik demi titik ke ff pada AA jika untuk setiap x∈Ax \in A, barisan bilangan real (fn(x))(f_n(x)) konvergen ke f(x)f(x):

lim⁡n→∞fn(x)=f(x)(∀x∈A)\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \quad (\forall x \in A)

Secara formal, untuk setiap x∈Ax \in A dan setiap ε>0\varepsilon > 0, terdapat H∈NH \in \mathbb{N} (di mana HH bergantung pada ε\varepsilon dan xx) sedemikian sehingga untuk setiap n≥Hn \geq H:

∣fn(x)−f(x)∣<ε|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon

Keterbatasan Konvergensi Titik demi Titik

Konvergensi titik demi titik tidak menjamin pelestarian sifat-sifat analitik fungsi. Sifat seperti kekontinuan, keterintegralan, dan keterdiferensialan dari suku-suku fnf_n tidak selalu diwariskan kepada fungsi limit ff.

Contoh (Kehilangan Kekontinuan pada Pointwise)
#

Misalkan fn(x)=xnf_n(x) = x^n pada domain [0,1][0, 1].

  • Untuk 0≤x<10 \leq x < 1, lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} x^n = 0.
  • Untuk x=1x = 1, lim⁡n→∞1n=1\lim_{n \to \infty} 1^n = 1.

Fungsi limitnya adalah:

f(x)={0,0≤x<11,x=1f(x) = \begin{cases} 0, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x = 1 \end{cases}

Meskipun setiap fn(x)=xnf_n(x) = x^n kontinu pada [0,1][0, 1], fungsi limit f(x)f(x) diskontinu di x=1x = 1. ■\blacksquare

2. Definisi Konvergensi Seragam & Kriteria Norma-Supremum

Definisi (Konvergensi Seragam (Uniform Convergence))
#

Barisan fungsi (fn)(f_n) dikatakan konvergen seragam ke ff pada AA jika untuk setiap ε>0\varepsilon > 0, terdapat H∈NH \in \mathbb{N} (di mana HH hanya bergantung pada ε\varepsilon dan tidak bergantung pada xx) sedemikian sehingga untuk setiap n≥Hn \geq H dan untuk semua x∈Ax \in A, berlaku:

∣fn(x)−f(x)∣<ε|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon

Teorema (Kriteria Norma-Supremum)
#

Misalkan gg adalah fungsi terbatas pada AA. Norma-supremum dari gg pada AA didefinisikan sebagai:

∥g∥A=sup⁡{∣g(x)∣:x∈A}\|g\|_A = \sup \{ |g(x)| : x \in A \}

Barisan fungsi (fn)(f_n) konvergen seragam ke ff pada AA jika dan hanya jika:

lim⁡n→∞∥fn−f∥A=0\lim_{n \to \infty} \| f_n - f \|_A = 0

Teorema (Kriteria Cauchy untuk Konvergensi Seragam)
#

Barisan fungsi (fn)(f_n) konvergen seragam pada AA jika dan hanya jika untuk setiap ε>0\varepsilon > 0, terdapat H∈NH \in \mathbb{N} sedemikian sehingga untuk setiap n,m≥Hn, m \geq H dan semua x∈Ax \in A:

∣fn(x)−fm(x)∣<ε|f_n(x) - f_m(x)| < \varepsilon

3. Contoh Uji Konvergensi Seragam

Contoh (Uji Konvergensi Seragam f_n(x) = x/n)
#

Selidiki konvergensi seragam dari fn(x)=xnf_n(x) = \frac{x}{n} pada [0,1][0, 1].

Penyelesaian:

  1. Fungsi limit titik demi titik: f(x)=lim⁡n→∞xn=0f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{n} = 0 untuk setiap x∈[0,1]x \in [0, 1].
  2. Hitung norma-supremum ∥fn−f∥[0,1]\|f_n - f\|_{[0,1]}: ∥fn−0∥[0,1]=sup⁡x∈[0,1]∣xn∣=1n\|f_n - 0\|_{[0,1]} = \sup_{x \in [0,1]} \left| \frac{x}{n} \right| = \frac{1}{n}
  3. Karena lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0, maka barisan (fn)(f_n) konvergen seragam ke f=0f = 0 pada [0,1][0, 1]. ■\blacksquare

Latihan Soal Interaktif

✏️ Latihan Soal 1 (Non-Kekontinuan Seragam x^n pada [0, 1])

Tunjukkan bahwa fn(x)=xnf_n(x) = x^n tidak konvergen seragam pada [0,1][0, 1].

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  • Fungsi limitnya f(x)=0f(x) = 0 untuk x∈[0,1)x \in [0, 1) dan f(1)=1f(1) = 1.
  • Hitung norma supremum selisih pada [0,1)[0, 1): ∥fn−f∥[0,1)=sup⁡x∈[0,1)∣xn−0∣=1\|f_n - f\|_{[0,1)} = \sup_{x \in [0,1)} |x^n - 0| = 1
  • Karena lim⁡n→∞∥fn−f∥[0,1)=1≠0\lim_{n \to \infty} \|f_n - f\|_{[0,1)} = 1 \neq 0, berdasarkan Kriteria Norma-Supremum disimpulkan (fn)(f_n) tidak konvergen seragam pada [0,1][0, 1]. ■\blacksquare
✏️ Latihan Soal 2 (Uji Konvergensi Seragam nx / (1 + nx))

Selidiki apakah fn(x)=nx1+nxf_n(x) = \frac{nx}{1+nx} konvergen seragam pada [0,1][0, 1].

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  • Untuk x=0x = 0, fn(0)=0→0f_n(0) = 0 \to 0.
  • Untuk x∈(0,1]x \in (0, 1], lim⁡n→∞nx1+nx=lim⁡x1/n+x=1\lim_{n \to \infty} \frac{nx}{1+nx} = \lim \frac{x}{1/n + x} = 1.
  • Fungsi limit f(x)=0f(x) = 0 untuk x=0x = 0 dan f(x)=1f(x) = 1 untuk x∈(0,1]x \in (0, 1].
  • Karena fnf_n kontinu pada [0,1][0, 1] tetapi fungsi limit ff diskontinu di x=0x = 0, berdasarkan kontraposisi Teorema Pelestarian Kekontinuan, (fn)(f_n) tidak konvergen seragam pada [0,1][0, 1]. ■\blacksquare
✏️ Latihan Soal 3 (Penjumlahan Barisan Konvergen Seragam)

Buktikan bahwa jika fn→ff_n \to f secara seragam dan gn→gg_n \to g secara seragam pada AA, maka fn+gn→f+gf_n + g_n \to f + g secara seragam pada AA.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  • Diberikan ε>0\varepsilon > 0.
  • Karena fn→ff_n \to f seragam, terdapat H1H_1 sehingga ∣fn(x)−f(x)∣<ε2|f_n(x) - f(x)| < \frac{\varepsilon}{2} untuk n≥H1n \geq H_1 dan semua x∈Ax \in A.
  • Karena gn→gg_n \to g seragam, terdapat H2H_2 sehingga ∣gn(x)−g(x)∣<ε2|g_n(x) - g(x)| < \frac{\varepsilon}{2} untuk n≥H2n \geq H_2 dan semua x∈Ax \in A.
  • Pilih H=max⁡{H1,H2}H = \max\{H_1, H_2\}. Maka untuk n≥Hn \geq H dan semua x∈Ax \in A: ∣(fn(x)+gn(x))−(f(x)+g(x))∣≤∣fn(x)−f(x)∣+∣gn(x)−g(x)∣<ε2+ε2=ε|(f_n(x) + g_n(x)) - (f(x) + g(x))| \leq |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon
  • Terbukti fn+gn→f+gf_n + g_n \to f + g secara seragam pada AA. ■\blacksquare
✏️ Latihan Soal 4 (Konvergensi Seragam Pergeseran x + 1/n)

Misalkan fn(x)=x+1nf_n(x) = x + \frac{1}{n}. Tunjukkan bahwa fnf_n konvergen seragam ke f(x)=xf(x) = x pada seluruh R\mathbb{R}.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan:

  • Hitung selisih: ∣fn(x)−f(x)∣=∣(x+1n)−x∣=1n|f_n(x) - f(x)| = \left|\left(x + \frac{1}{n}\right) - x\right| = \frac{1}{n}.
  • ∥fn−f∥R=sup⁡x∈R1n=1n\|f_n - f\|_{\mathbb{R}} = \sup_{x \in \mathbb{R}} \frac{1}{n} = \frac{1}{n}.
  • Karena lim⁡n→∞1n=0\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0, maka fn→ff_n \to f secara seragam pada R\mathbb{R}. ■\blacksquare
🔗

Materi Terkait (Linked References) (4)

Analisis Real Bab 6

Deret Takhingga dan Uji Konvergensi

Jumlah parsial, konvergensi deret angka, uji suku ke-n, uji banding, uji rasio, dan deret p.

Analisis Real Bab 7

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Kumpulan lengkap 20 soal isian singkat dan 10 soal essay pembuktian analisis real tingkat ONMIPA PT beserta pembahasan terstruktur.

Analisis Real Bab 6

Uji M-Weierstrass dan Teorema Pertukaran Limit

Teorema pertukaran limit dengan kekontinuan, integral, dan turunan; Uji M-Weierstrass; serta integrasi dan diferensiasi suku-demi-suku.

ONMIPA 2026 (Wilayah) Campuran

Naskah Soal & Pembahasan ONMIPA PT 2026 — Seleksi Wilayah