Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Real

Infimum dari himpunan $\{n\in \mathbb{N}:(n!)\}$ adalah $\dots$

Misalkan $f,g:[0,1]\to {\mathbb{R}}^{+}$ adalah fungsi-fungsi injektif yang diferensiabel. Definisikan sebuah kombinasi fungsi dari $f$ dan $g$ sehingga memenuhi sifat : jika $f(0)=g(1)=1,$ maka terdapat $c\in (0,1)$ sedemikian sehingga $\left|\frac{u(c)}{v(c)}\right|=2011,$ untuk $u(x)=\ln f(x)$ dan $v(x)=\ln g(x),\forall x\in (0,1)$.

Jika fungsi nonnegatif $f$ terintegralkan Riemann pada $[a,b]$ dan $0\le m\le f(x)\le M,x\in [a,b]$, tentukan nilai $c$ dan $d$ sehingga $c\le \left({\int }_a^{b}f\right)\le d$.

Barisan $(S_n)$ dengan $S_n={\left(\frac{1}{n}\right)}^n+{\left(\frac{2}{n}\right)}^n+\cdots +{\left(\frac{n}{n}\right)}^n$ konvergen ke $\dots$

Beri contoh fungsi suatu barisan dari fungsi-fungsi kontinu $(f_n)$ yang terdefinisi pada $[a,b]$, sedemikian sehingga $0\le f_n(x)\le 1$, dan $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n(x)\mathrm{d}x=0$, tetapi barisan tersebut tidak konvergen pada $[0,1]$.

Jika $(a_n)$ barisan dengan $a_{n+1}=a_n+\frac{2-a_n}{2a_n+1}$ untuk setiap $n$, maka $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\dots$

Diketahui fungsi $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ kontinu. Jika $f(x)$ rasional untuk setiap $x\in [0,1]$ dan $f(0)=0$, maka nilai $f\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)=\dots$

Contoh fungsi $f$ dan $g$ yang kontinu seragam pada interval $I$, tetapi hasil kali keduanya tidak kontinu seragam pada $I$ adalah $\dots$

Diketahui $I\subseteq \mathbb{R}$ interval dan fungsi $f:I\to \mathbb{R}$. Jika $c$ titik interior (interior point) $I$ dan untuk setiap $x,y\in I$, dengan $x<y$, berlaku $f(x)\ge f(y),$ maka $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\dots$

Jika $f^{\prime \prime }(x)+p(x)f(x)=0$ dan $g^{\prime \prime }(x)+p(x)g(x)=0$, untuk setiap $x\in (a,b)$, maka $W=f^{\prime }g-f{g}^{\prime }=\dots$ pada $(a,b)$.

Diketahui himpunan $E\subset \mathbb{R}$ tertutup dan fungsi $f:E\to \mathbb{R}$ kontinu. Jika $(x_n)$ merupakan barisan Cauchy di dalam $E$, tunjukkan bahwa terdapat $c\in E$ sedemikian sehingga $(f(x_n))$ konvergen ke $f(c)$.

Jika fungsi $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ kontinu dan terbatas, tunjukkan bahwa fungsi $g:(0,1)\to \mathbb{R}$ dengan $g(x)=x(1-x)f(x)$ kontinu seragam.

Jika fungsi $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ terdiferensial dan terdapat $c\in \mathbb{R}$ dengan $\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=c,$ tunjukkan bahwa ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}=c.$