Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Real

Infimum dari himpunan $\{n\in\mathbb{N} : (n!)\}$ adalah $\dots$

Misalkan $f,g :[0,1]\to\mathbb{R}^+$ adalah fungsi-fungsi injektif yang diferensiabel. Definisikan sebuah kombinasi fungsi dari $f$ dan $g$ sehingga memenuhi sifat : jika $f(0) =g(1)= 1,$ maka terdapat $c\in(0,1)$ sedemikian sehingga $\displaystyle \left|\frac{u(c)}{v(c)} \right| = 2011,$ untuk $u(x) = \ln f(x)$ dan $v(x) = \ln g(x), \forall x\in(0,1)$.

Jika fungsi nonnegatif $f$ terintegralkan Riemann pada $[a,b]$ dan $0\le m\le f(x) \le M, x\in[a,b]$, tentukan nilai $c$ dan $d$ sehingga $\displaystyle c \le \left(\int_a^b f\right) \le d$.

Barisan $(S_n)$ dengan $\displaystyle S_n = \left(\frac{1}{n}\right)^n +\left(\frac{2}{n}\right)^n +\dots + \left(\frac{n}{n}\right)^n$ konvergen ke $\dots$

Beri contoh fungsi suatu barisan dari fungsi-fungsi kontinu $(f_n)$ yang terdefinisi pada $[a,b]$, sedemikian sehingga $0\le f_n(x)\le 1$, dan $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x = 0$, tetapi barisan tersebut tidak konvergen pada $[0,1]$.

Jika $(a_n)$ barisan dengan $a_{n + 1} = a_n + \dfrac{2 - a_n}{2a_n + 1}$ untuk setiap $n$, maka $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \dots$

Diketahui fungsi $f :[0,1]\to\mathbb{R}$ kontinu. Jika $f(x)$ rasional untuk setiap $x\in[0,1]$ dan $f(0) = 0$, maka nilai $f\left(\dfrac{\sqrt 2}{4}\right) = \dots$

Contoh fungsi $f$ dan $g$ yang kontinu seragam pada interval $I$, tetapi hasil kali keduanya tidak kontinu seragam pada $I$ adalah $\dots$

Diketahui $I\subseteq \mathbb{R}$ interval dan fungsi $f : I\to\mathbb{R}$. Jika $c$ titik interior (interior point) $I$ dan untuk setiap $x,y\in I$, dengan $x < y$, berlaku $f(x) \ge f(y),$ maka $\displaystyle\lim_{x\to c} f(x) = \dots$

Jika $f''(x) + p(x)f(x) = 0$ dan $g''(x) + p(x) g(x) = 0$, untuk setiap $x\in(a,b)$, maka $W = f'g - fg' = \dots$ pada $(a,b)$.

Diketahui himpunan $E\subset \mathbb{R}$ tertutup dan fungsi $f : E\to\mathbb{R}$ kontinu. Jika $(x_n)$ merupakan barisan Cauchy di dalam $E$, tunjukkan bahwa terdapat $c\in E$ sedemikian sehingga $(f(x_n))$ konvergen ke $f(c)$.

Jika fungsi $f : (0,1)\to\mathbb{R}$ kontinu dan terbatas, tunjukkan bahwa fungsi $g :(0,1)\to\mathbb{R}$ dengan $g(x) = x(1 - x) f(x)$ kontinu seragam.

Jika fungsi $f :\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ terdiferensial dan terdapat $c\in\mathbb{R}$ dengan $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f'(x) = c,$ tunjukkan bahwa $\lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = c.$