Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Struktur Aljabar

Jika $G$ sebuah grup dengan subgrup $H$ sedemikian sehingga $|G| < 45, |H| > 10,$ dan $|G : H| > 3$ maka $|G| = \dots$

Diberikan $\mathbb{Z}_2$ sistem bilangan bulat modulo $2$ dan himpunan $G$ yang unsur-unsurnya matriks $2\times 2$ dengan komponen di $\mathbb{Z}_2$ dan determinan tak nol. Banyaknya subgrup berorde $2$ adalah $\dots$

Misalkan $S_5$ adalah grup simetri berorde 5. Orde dari $(1~ 2)(3~ 4~ 5)$ di $S_5$ adalah $\dots$

Misalkan $R$ suatu ring dan $F$ suatu lapangan. Jika $\theta : F\to R$ homomorfisma ring yang tidak nol maka $\ker(\theta) = \dots$

Perhatikan ring polinom $\mathbb{Z}_3[x]$. Bilangan $c\in\mathbb{Z}_3$ sehingga $x^3 + cx + 1$ tidak tereduksi di $\mathbb{Z}_3$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ suatu grup dan $N$ subgrup dari $G$. Buktikan bahwa perkalian $(Na).(Nb) = N(ab)$ pada himpunan koset kanan dari $N$ terdefinisi dengan baik (well defined) jika dan hanya jika $N$ subgrup normal dari $G$.

Misalkan $R$ suatu gelanggang komutatif. Misalkan $r\in R$, didefinisikan $\rho_r : R\to R$, dimana $\rho_r(a) = ar$ untuk setiap $a\in R$. Buktikan bahwa $R$ daerah integral jika dan hanya jika $\ker(\rho_r) = \{0\}$ untuk setiap $r\in R - \{0\}$.