Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Analisis Kompleks

Tentukan jari-jari konvergensi deret $\sum_{n = 1}^\infty \left[\frac{z(z + n)}{n}\right]^n.$

Tentukan luas daerah peta dari hasil pemetaan daerah $\{z = x + iy\in\mathbb{C} \mid -1 < x \le 2, -1 \le y < 3\}$ oleh transformasi linear $T(z) = (1+ i\sqrt 3)z + 2 - i$.

Berapakah nilai integral berikut $\int_{|z - a| = a} \frac{z\,\mathrm{d}z}{z^4 - 1}~\text{dengan}~ a\in\mathbb{R}~\text{dan}~ a > 1.$

Misalkan $f(z)$ fungsi analitik yang memenuhi $|f(z)| \le 1 + |z|^{3/2}$. Tuliskan semua fungsi analitik yang mungkin.

Misalkan $p(z) = \sum_{n = 0}^\infty a_n z^n$ dan $q(z) = \sum_{n = 0}^\infty b_n z^n$. Selanjutnya definisikan $f(z) = p(z) q(z)$. Hitung $f^{(n)}(0),$ yaitu nilai turunan ke-$n$ untuk fungsi $f$ di titik 0. Nyatakan nilai tersebut dalam $(a_k)$ dan $(b_k)$.

Buktikan bahwa jika $z_1 + z_2 + z_3 = 0$ dan $|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ maka $z_1,z_2,z_3$ adalah titik-titik ujung sebuah segitiga sama sisi yang berada di dalam lingkaran satuan.

Misalkan $f(z) = \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n$ fungsi analitik dengan jari-jari konvergensi $R$ dan di bidang kompleks hanya mempunyai satu pole order dua di titik $z_0$.

(a) Definisikan suatu fungsi analitik $F(z)$ yang analitik di seluruh bidang $\mathbb{C}$ yang diperoleh dari hasil perkalian $f(z)$ dengan suatu fungsi yang sederhana.

(b) Misalkan $F(z) = \sum_{n = 0}^\infty d_n z^n,$ berdasarkan hubungan yang diperoleh di soal (a), hitung nilai $c_n$ dinyatakan suku-suku dari barisan $(d_n)$.