Naskah Soal ONMIPA PT 2011 — Aljabar Linear

Diketahui bahwa $V$ adalah subruang dari $P_3$ yang dibangun oleh $\{x^3 + x^2, x^3 + x, x + 1, x^2 + 1\}$, maka dimensi $V$ adalah $\dots$

Misalkan $A =[a_{ij}]$ matriks berukuran $2011\times 2011$. Jika $a_{ij} = i + j$ untuk setiap $i,j$, maka $\text{rank}(A) = \dots$

Bidang $B$ di $\mathbb{R}^3$ melalui titik-titik $(1,0,0), (0,1,0),$ dan $(0,0,-1)$. Vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang $B$ adalah $\dots$

Diberikan vektor-vektor $\mathbf{x}_1 = (1,1,0), \mathbf{x}_2 = (0,1,1)$ di $\mathbb{R}^3$. Proses ortonormalisasi Gram-Schmidt pada $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2$ menghasilkan vektor $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2$. Maka $\mathbf{v}_2 = \dots$

Misalkan $A$ dan $B$ matriks-matriks real berukuran berturut-turut $4\times 2$ dan $2\times 4$. Jika $AB =\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0& -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1\end{bmatrix},$ maka $BA = \dots$

Misalkan $T:P_2\to\mathbb{R}$ adalah transformasi linear yang didefinisikan sebagai $T(p(x)) = \int_0^1 p(x)\,\mathrm{d}x,~\text{untuk setiap}~p(x)\in P_2.$ Maka dimensi $\text{Ker}(T)$ adalah $\dots$

Misalkan $\mathbf{v} = (1,-2,4), \mathbf{w} = (-3,6,k)\in \mathbb{R}^3$. Jika tidak ada $\mathbf{u}\in\mathbb{R}^3$ sehingga $\mathbf{w}$ adalah hasil proyeksi $\mathbf{u}$ pada $\mathbf{v}$, maka himpunan semua nilai $k$ yang mungkin adalah $\dots$

Misalkan $f :\mathbb{R}^3 \to\mathbb{R}^3$ didefinisikan sebagai $f(\mathbf{x},\mathbf{y}) = x_1y_1 - x_2y_2 + 3x_3y_3,$ untuk setiap $\mathbf{x} = (x_1,x_2,x_3), \mathbf{y} = (y_1,y_2,y_3)\in\mathbb{R}^3.$ Maka $f$ bukan hasil kali dalam di $\mathbb{R}^3$ karena tidak memenuhi sifat $\dots$

Misalkan matriks $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Jika $A$ mempunyai $k$ kolom yang sama, maka dimensi ruang eigen $A$ untuk nilai eigen $\lambda = 0$ paling sedikit adalah $\dots$

Misalkan $T$ operator linear pada $\mathbb{R}^{2\times2}$ yang didefinisikan sebagai $T\left(\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix}c & a \\ d & b\end{bmatrix},~\text{untuk setiap}~\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{2\times 2}.$ Jika $A$ adalah vektor eigen $T$ untuk nilai eigen $-1$, maka $\det(A) = \dots$

Misalkan $A =[a_{ij}]$ matriks berukuran $2011\times 2011$ dengan $a_{ij} = \begin{cases} (-1)^{|i - j|} &\text{jika } i\neq j\\ 2 & \text{jika } i = j.\end{cases}$

Tentukan $\det(A).$

Misalkan $G$ operator linear pada $\mathbb{R}^{2\times 2}$ yang memetakan $A\in\mathbb{R}^{2\times2}$ ke $G(A) = A^T$, yaitu transpos dari $A$. Periksa apakah $G$ dapat didiagonalkan. Jika ya, berikan suatu diagonalisasi dari $G$.

Misalkan $V$ adalah subruang dari $\mathbb{R}^{50}$ yang dibangun oleh vektor-vektor $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots, \mathbf{v}_{50}.$ Jika himpunan semua entri (komponen) $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots, \mathbf{v}_{50}$ adalah himpunan bilangan $\{1,2,\dots, 2500\}$, tentukan nilai terkecil dan nilai terbesar yang mungkin untuk $\dim(V)$.