🌱
onmipa.filzabuana.id
Analisis Real

Barisan Cauchy dan Kriteria Konvergensi Cauchy

Definisi barisan Cauchy, keterbatasan barisan Cauchy, Kriteria Konvergensi Cauchy, dan kelengkapan R.

📅 Dibuat: 5 Agustus 2026
🔄 Diperbarui: 5 Agustus 2026

Kriteria Cauchy menyediakan metode yang sangat penting untuk menentukan konvergensi suatu barisan dalam ruang lengkap seperti R\mathbb{R} tanpa harus menebak atau mengetahui nilai kandidat limit xx terlebih dahulu.

1. Definisi Barisan Cauchy

Definisi (Barisan Cauchy)

Barisan bilangan real (xn)(x_n) disebut barisan Cauchy jika untuk setiap ε>0\varepsilon > 0, terdapat H∈NH \in \mathbb{N} sedemikian sehingga untuk semua n,m≥Hn, m \geq H, berlaku:

∣xn−xm∣<ε|x_n - x_m| < \varepsilon

Intuisi: Suku-suku barisan Cauchy saling mendekat satu sama lain untuk indeks n,mn, m yang cukup besar.

2. Keterbatasan & Kriteria Konvergensi Cauchy

Teorema (Keterbatasan Barisan Cauchy)

Setiap barisan Cauchy di R\mathbb{R} merupakan barisan yang terbatas.

Teorema (Kriteria Konvergensi Cauchy)

Barisan bilangan real (xn)(x_n) konvergen jika dan hanya jika (xn)(x_n) merupakan barisan Cauchy.

Teorema ini menegaskan bahwa garis bilangan real R\mathbb{R} bersifat Lengkap (Complete Metric Space). Hal ini tidak berlaku pada Q\mathbb{Q}, di mana terdapat barisan Cauchy rasional yang konvergen ke bilangan irasional (titik limit tidak ada di Q\mathbb{Q}).

3. Contoh Pembuktian Barisan Cauchy

Contoh (Bukti Formal Barisan Cauchy 1/n)

Buktikan bahwa barisan xn=1nx_n = \frac{1}{n} adalah barisan Cauchy.

Penyelesaian:

  • Diberikan ε>0\varepsilon > 0. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan m≥n≥Hm \geq n \geq H.
  • Perhatikan estimasi selisih: ∣1n−1m∣≤1n+1m≤1n+1n=2n\left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \leq \frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n}
  • Agar 2n<ε\frac{2}{n} < \varepsilon, kita membutuhkan n>2εn > \frac{2}{\varepsilon}.
  • Berdasarkan Sifat Archimedes, pilih H∈NH \in \mathbb{N} dengan H>2εH > \frac{2}{\varepsilon}.
  • Maka untuk setiap n,m≥Hn, m \geq H: ∣xn−xm∣≤2H<ε|x_n - x_m| \leq \frac{2}{H} < \varepsilon
  • Terbukti bahwa xn=1nx_n = \frac{1}{n} adalah barisan Cauchy. ■\blacksquare

Latihan Soal Interaktif

✏️ Latihan Soal 1 (Barisan Konvergen Adalah Cauchy)

Buktikan bahwa setiap barisan bilangan real yang konvergen pasti merupakan barisan Cauchy.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan: Misalkan xn→xx_n \to x. Diberikan ε>0\varepsilon > 0. Karena xn→xx_n \to x, terdapat H∈NH \in \mathbb{N} sehingga ∣xk−x∣<ε2|x_k - x| < \frac{\varepsilon}{2} untuk semua k≥Hk \geq H. Maka untuk sebarang n,m≥Hn, m \geq H:

∣xn−xm∣=∣(xn−x)+(x−xm)∣≤∣xn−x∣+∣xm−x∣<ε2+ε2=ε|x_n - x_m| = |(x_n - x) + (x - x_m)| \leq |x_n - x| + |x_m - x| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon

Terbukti (xn)(x_n) adalah barisan Cauchy. ■\blacksquare

✏️ Latihan Soal 2 (Kondisi Kontraksi Barisan Cauchy)

Misalkan (xn)(x_n) memenuhi ∣xn+1−xn∣<rn|x_{n+1} - x_n| < r^n untuk suatu konstanta 0<r<10 < r < 1. Buktikan bahwa (xn)(x_n) adalah barisan Cauchy.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan: Untuk m>n≥Hm > n \geq H: ∣xm−xn∣≤∑k=nm−1∣xk+1−xk∣<∑k=nm−1rk=rn1−rm−n1−r<rn1−r|x_m - x_n| \leq \sum_{k=n}^{m-1} |x_{k+1} - x_k| < \sum_{k=n}^{m-1} r^k = r^n \frac{1 - r^{m-n}}{1 - r} < \frac{r^n}{1 - r} Karena 0<r<10 < r < 1, maka lim⁡n→∞rn=0\lim_{n \to \infty} r^n = 0. Diberikan ε>0\varepsilon > 0, pilih H∈NH \in \mathbb{N} cukup besar sehingga rH1−r<ε\frac{r^H}{1 - r} < \varepsilon. Maka ∣xm−xn∣<ε|x_m - x_n| < \varepsilon untuk m>n≥Hm > n \geq H, terbukti (xn)(x_n) Cauchy. ■\blacksquare

✏️ Latihan Soal 3 (Uji Barisan Harmonik Bukan Cauchy)

Tunjukkan bahwa barisan jumlah parsial harmonik xn=1+12+13+⋯+1nx_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} bukan merupakan barisan Cauchy.

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi
▾
Pembahasan:

Pembahasan: Pilih ε0=12\varepsilon_0 = \frac{1}{2}. Untuk sebarang n∈Nn \in \mathbb{N}, ambil m=2nm = 2n:

∣x2n−xn∣=1n+1+1n+2+⋯+12n|x_{2n} - x_n| = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n}

Karena terdapat nn suku dan suku terkecil adalah 12n\frac{1}{2n}:

∣x2n−xn∣≥n⋅12n=12=ε0|x_{2n} - x_n| \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} = \varepsilon_0

Karena selisih ∣x2n−xn∣|x_{2n} - x_n| tidak bisa dibuat lebih kecil dari 1/21/2, (xn)(x_n) bukan barisan Cauchy. ■\blacksquare

🔗

Materi Terkait (Linked References) (2)

Analisis Real Bab 2

Subbarisan dan Teorema Bolzano-Weierstrass

Subbarisan, kriteria konvergensi subbarisan, Teorema Bolzano-Weierstrass, dan titik limit barisan.

Analisis Real Bab 3

Limit Fungsi dan Kriteria Barisan

Definisi limit fungsi epsilon-delta, kriteria barisan untuk limit, dan pengujian non-eksistensi limit.