Sifat Archimedes dan Kerapatan Bilangan Rasional

Sifat Archimedes memberikan jaminan bahwa tidak ada bilangan real yang “tak hingga besarnya”. Secara intuitif, jika kita memiliki langkah sekecil apa pun, kita tetap bisa melampaui jarak sejauh apa pun jika melangkah cukup banyak.

1. Sifat Archimedes

Teorema (Sifat Archimedes (Archimedean Property))

Jika $x \in \mathbb{R}$ , maka terdapat $n_x \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga:

$x < n_x$

Bukti: Andaikan pengandaian sebaliknya: himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ terbatas di atas di $\mathbb{R}$ . Berdasarkan Aksioma Supremum, $\mathbb{N}$ memiliki supremum $u = \sup \mathbb{N} \in \mathbb{R}$ . Kurangi $u$ dengan $\varepsilon = 1 > 0$ . Maka $u - 1$ bukan lagi batas atas dari $\mathbb{N}$ . Artinya terdapat $m \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga $u - 1 < m \implies u < m + 1$ . Karena $m \in \mathbb{N}$ , maka $m + 1 \in \mathbb{N}$ . Pertidaksamaan $u < m + 1$ kontradiksi dengan fakta bahwa $u$ adalah batas atas dari $\mathbb{N}$ . Jadi $\mathbb{N}$ tidak terbatas di atas di $\mathbb{R}$ . $\blacksquare$

Teorema (Akibat Sifat Archimedes)

Untuk setiap $\varepsilon > 0$ , terdapat $n \in \mathbb{N}$ sedemikian sehingga:

$0 < \frac{1}{n} < \varepsilon$

Akibat ini sangat krusial dalam pembuktian limit barisan dan fungsi untuk menunjukkan bahwa selisih dapat dibuat sekecil mungkin.

2. Teorema Kerapatan Bilangan Rasional & Irasional

Teorema (Teorema Kerapatan Rasional (Density of Q in R))

Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan real dengan $x < y$ , maka terdapat bilangan rasional $r \in \mathbb{Q}$ sedemikian sehingga:

$x < r < y$

Teorema ini memberitahu kita bahwa di antara dua bilangan real yang sangat dekat sekalipun, selalu terselip setidaknya satu bilangan rasional (dan sebenarnya tak hingga banyaknya).

3. Contoh Pembuktian Eksistensi $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$

Contoh (Eksistensi Akar Dua)

Buktikan bahwa terdapat bilangan real positif $x > 0$ sedemikian sehingga $x^2 = 2$ .

Penyelesaian: Definisikan himpunan $S = \{ s \in \mathbb{R} : s \geq 0 \text{ dan } s^2 < 2 \}$ .

$S \neq \emptyset$ karena $1 \in S$ ( $1^2 = 1 < 2$ ).
$S$ terbatas di atas oleh $2$ (karena jika $s > 2$ , maka $s^2 > 4 > 2$ ).
Berdasarkan Aksioma Supremum, $x = \sup S$ ada di $\mathbb{R}$ .
Kita buktikan $x^2 = 2$ $x^{2} = 2$ dengan mengeliminasi $x^2 < 2$ $x^{2} < 2$ dan $x^2 > 2$ $x^{2} > 2$ :
- Jika $x^2 < 2$ , dengan Sifat Archimedes kita dapat memilih $n \in \mathbb{N}$ cukup besar sehingga $(x + \frac{1}{n})^2 < 2$ , kontradiksi dengan $x = \sup S$ .
- Jika $x^2 > 2$ , dapat dipilih $n \in \mathbb{N}$ sehingga $(x - \frac{1}{n})^2 > 2$ , kontradiksi dengan $x$ batas atas terkecil.
- Jadi haruslah $x^2 = 2$ . $\blacksquare$

Latihan Soal Interaktif

✏️ Latihan Soal 1 (Infimum dari 1/n)

Gunakan Sifat Archimedes untuk membuktikan secara formal bahwa:

$\inf \left\{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\} = 0$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Misalkan $S = \{ 1/n : n \in \mathbb{N} \}$ .

Jelas $1/n > 0$ untuk semua $n \in \mathbb{N}$ , jadi $0$ adalah batas bawah bagi $S$ . Maka $w = \inf S \geq 0$ .
Diberikan sebarang $\varepsilon > 0$ . Berdasarkan Akibat Sifat Archimedes, terdapat $n_0 \in \mathbb{N}$ sehingga $0 < \frac{1}{n_0} < \varepsilon$ .
Karena $\frac{1}{n_0} \in S$ , maka infimum $w \leq \frac{1}{n_0} < \varepsilon$ .
Karena $0 \leq w < \varepsilon$ untuk setiap $\varepsilon > 0$ , berdasarkan kriteria epsilon ketaksamaan, disimpulkan $w = 0$ . $\blacksquare$

✏️ Latihan Soal 2 (Kerapatan Bilangan Irasional)

Buktikan bahwa di antara dua bilangan real $x < y$ , terdapat bilangan irasional $z \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ sedemikian sehingga $x < z < y$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Perhatikan bilangan $x/\sqrt{2}$ dan $y/\sqrt{2}$ . Karena $x < y$ dan $\sqrt{2} > 0$ , maka:

$\frac{x}{\sqrt{2}} < \frac{y}{\sqrt{2}}$

Berdasarkan Teorema Kerapatan Rasional, terdapat $r \in \mathbb{Q}$ dengan $r \neq 0$ sedemikian sehingga:

$\frac{x}{\sqrt{2}} < r < \frac{y}{\sqrt{2}}$

Kalikan ketiga ruas dengan $\sqrt{2} > 0$ :

$x < r\sqrt{2} < y$

Definisikan $z = r\sqrt{2}$ . Karena $r \in \mathbb{Q}$ ( $r \neq 0$ ) dan $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ , maka $z \notin \mathbb{Q}$ (irasional). Terbukti $x < z < y$ . $\blacksquare$

✏️ Latihan Soal 3 (Aproksimasi Real oleh Rasional dari Bawah)

Misalkan $x \in \mathbb{R}$ . Buktikan bahwa $x = \sup \{ r \in \mathbb{Q} : r < x \}$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Misalkan $A = \{ r \in \mathbb{Q} : r < x \}$ .

Berdasarkan definisi, untuk setiap $r \in A$ berlaku $r < x$ , sehingga $x$ adalah batas atas bagi $A$ . Maka $\sup A \leq x$ .
Diberikan $\varepsilon > 0$ . Maka $x - \varepsilon < x$ . Berdasarkan Teorema Kerapatan Rasional, terdapat $r_0 \in \mathbb{Q}$ sehingga: $x - \varepsilon < r_0 < x$ Karena $r_0 < x$ , maka $r_0 \in A$ . Hal ini menunjukkan bahwa $x - \varepsilon$ bukan batas atas bagi $A$ .
Berdasarkan Karakterisasi Epsilon Supremum, disimpulkan $\sup A = x$ . $\blacksquare$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Sifat Kelengkapan, Supremum & Infimum
Sub-Topik Selanjutnya: Topologi Dasar di Bilangan Real →

Sifat Archimedes dan Kerapatan Bilangan Rasional

1. Sifat Archimedes

2. Teorema Kerapatan Bilangan Rasional & Irasional

3. Contoh Pembuktian Eksistensi $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$

Latihan Soal Interaktif

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (5)

Barisan Cauchy dan Kriteria Konvergensi Cauchy

Limit Barisan dan Konvergensi

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Sifat Kelengkapan, Supremum dan Infimum

Topologi Dasar di Bilangan Real

Title

1. Sifat Archimedes

2. Teorema Kerapatan Bilangan Rasional & Irasional

3. Contoh Pembuktian Eksistensi 2∈R\sqrt{2} \in \mathbb{R}2​∈R

Latihan Soal Interaktif

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (5)

Barisan Cauchy dan Kriteria Konvergensi Cauchy

Limit Barisan dan Konvergensi

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Sifat Kelengkapan, Supremum dan Infimum

Topologi Dasar di Bilangan Real

3. Contoh Pembuktian Eksistensi $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$