Sifat Kelengkapan, Supremum dan Infimum

Sifat Kelengkapan (Completeness Property) adalah pembeda utama antara himpunan bilangan real $\mathbb{R}$ dan himpunan bilangan rasional $\mathbb{Q}$ . Himpunan $\mathbb{Q}$ memiliki “lubang” (misalnya tidak ada $x \in \mathbb{Q}$ yang memenuhi $x^2 = 2$ ), sedangkan $\mathbb{R}$ mengisi semua titik kontinu pada garis bilangan.

1. Definisi Batas Atas, Batas Bawah & Supremum

Misalkan $S \subseteq \mathbb{R}$ adalah himpunan tak kosong.

Definisi (Batas Atas & Batas Bawah)

Himpunan $S$ dikatakan terbatas di atas jika terdapat $u \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $s \leq u$ untuk semua $s \in S$ . Bilangan $u$ disebut batas atas dari $S$ .
Himpunan $S$ dikatakan terbatas di bawah jika terdapat $w \in \mathbb{R}$ sedemikian sehingga $w \leq s$ untuk semua $s \in S$ . Bilangan $w$ disebut batas bawah dari $S$ .

Definisi (Supremum & Infimum)

Bilangan $s^* \in \mathbb{R}$ $s^{*} \in R$ disebut supremum (batas atas terkecil) dari $S$ $S$ , dinotasikan $s^* = \sup S$ $s^{*} = sup S$ , jika:
- $s^*$ adalah batas atas dari $S$ .
- Jika $u$ adalah sebarang batas atas dari $S$ , maka $s^* \leq u$ .
Bilangan $s_* \in \mathbb{R}$ $s_{*} \in R$ disebut infimum (batas bawah terbesar) dari $S$ $S$ , dinotasikan $s_* = \inf S$ $s_{*} = in f S$ , jika:
- $s_*$ adalah batas bawah dari $S$ .
- Jika $w$ adalah sebarang batas bawah dari $S$ , maka $w \leq s_*$ .

2. Karakterisasi Epsilon untuk Supremum

Dalam pembuktian analisis real, kriteria $\varepsilon$ berikut jauh lebih efektif dibanding definisi langsung:

Teorema (Karakterisasi Epsilon Supremum)

Misalkan $S \subseteq \mathbb{R}$ terbatas di atas dan $s^*$ adalah batas atas $S$ . Maka $s^* = \sup S$ jika dan hanya jika untuk setiap $\varepsilon > 0$ , terdapat elemen $s_\varepsilon \in S$ sedemikian sehingga:

$s^* - \varepsilon < s_\varepsilon$

Intuisi: Jika kita mengurangi batas atas $s^*$ sebesar $\varepsilon > 0$ , maka $s^* - \varepsilon$ bukan lagi batas atas $S$ , sehingga pasti ada anggota $S$ yang melampauinya.

3. Contoh Pembuktian Supremum

Contoh (Menghitung Supremum Himpunan)

Tentukan $\sup S$ untuk himpunan $S = \left\{ \frac{n}{n+1} : n \in \mathbb{N} \right\} = \left\{ \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots \right\}$ .

Penyelesaian: Kita duga $\sup S = 1$ .

Batas Atas: Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , berlaku $n < n + 1$ , sehingga $\frac{n}{n+1} < 1$ . Jadi $1$ adalah batas atas $S$ .
Karakterisasi $\varepsilon$ : Diberikan $\varepsilon > 0$ . Kita cari $n \in \mathbb{N}$ sehingga $1 - \varepsilon < \frac{n}{n+1}$ . $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} > 1 - \varepsilon \iff \frac{1}{n+1} < \varepsilon \iff n + 1 > \frac{1}{\varepsilon}$ Berdasarkan Sifat Archimedes, kita dapat memilih $n \in \mathbb{N}$ dengan $n > \frac{1}{\varepsilon} - 1$ . Terbukti bahwa $\sup S = 1$ . $\blacksquare$

Latihan Soal Interaktif

✏️ Latihan Soal 1 (Pergeseran Supremum (Translation Property))

Misalkan $S \subseteq \mathbb{R}$ tak kosong dan terbatas di atas. Untuk $a \in \mathbb{R}$ , definisikan $a + S = \{ a + s : s \in S \}$ . Buktikan bahwa:

$\sup(a + S) = a + \sup S$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Misalkan $s^* = \sup S$ .

Untuk setiap $x \in a + S$ , terdapat $s \in S$ sehingga $x = a + s$ . Karena $s \leq s^*$ , diperoleh $x = a + s \leq a + s^*$ . Jadi $a + s^*$ adalah batas atas dari $a + S$ , sehingga $\sup(a + S) \leq a + s^*$ .
Sebaliknya, misalkan $u$ adalah sebarang batas atas dari $a + S$ . Maka untuk setiap $s \in S$ , $a + s \leq u \implies s \leq u - a$ . Artinya $u - a$ adalah batas atas dari $S$ , sehingga $s^* \leq u - a \implies a + s^* \leq u$ . Karena $a + s^*$ lebih kecil atau sama dengan sebarang batas atas $u$ , maka $a + s^* \leq \sup(a + S)$ .

Dari kedua pertidaksamaan, disimpulkan $\sup(a + S) = a + \sup S$ . $\blacksquare$

✏️ Latihan Soal 2 (Monotonisitas Supremum Himpunan Bagian)

Buktikan bahwa jika $A$ dan $B$ adalah himpunan bagian dari $\mathbb{R}$ yang terbatas di atas dan $A \subseteq B$ , maka:

$\sup A \leq \sup B$

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Misalkan $b^* = \sup B$ . Berdasarkan definisi, $b^*$ adalah batas atas bagi $B$ . Karena $A \subseteq B$ , maka setiap elemen $a \in A$ juga merupakan elemen dari $B$ , sehingga $a \leq b^*$ untuk semua $a \in A$ . Artinya $b^*$ juga merupakan batas atas bagi himpunan $A$ . Karena $\sup A$ adalah batas atas terkecil bagi $A$ , maka haruslah $\sup A \leq b^* = \sup B$ . $\blacksquare$

✏️ Latihan Soal 3 (Titik Akumulasi di Sekitar Supremum)

Misalkan $s = \sup S$ . Jika $s \notin S$ , buktikan bahwa untuk setiap $\varepsilon > 0$ , himpunan irisan $S \cap (s - \varepsilon, s)$ memuat tak hingga banyaknya anggota $S$ .

💡 Tampilkan Pembahasan / Solusi

▾

Pembahasan:

Pembahasan: Diberikan $\varepsilon > 0$ . Berdasarkan Karakterisasi $\varepsilon$ , terdapat $s_1 \in S$ sehingga $s - \varepsilon < s_1 \leq s$ . Karena $s \notin S$ , maka $s_1 < s$ , sehingga $s_1 \in S \cap (s - \varepsilon, s)$ .

Jika irisannya hanya memuat berhingga banyaknya elemen $\{s_1, s_2, \dots, s_k\}$ , kita ambil $m = \max\{s_1, \dots, s_k\} < s$ . Pilih $\varepsilon_1 = s - m > 0$ . Berdasarkan Karakterisasi $\varepsilon$ lagi, terdapat $s_{k+1} \in S$ dengan $s - \varepsilon_1 < s_{k+1} < s \implies m < s_{k+1} < s$ . Hal ini kontradiksi karena $s_{k+1} \in S \cap (s - \varepsilon, s)$ tetapi $s_{k+1} > m$ . Jadi irisan $S \cap (s - \varepsilon, s)$ harus memuat tak hingga banyaknya anggota $S$ . $\blacksquare$

Navigasi Sub-Topik

← Sub-Topik Sebelumnya: Sifat Aljabar & Urutan Bilangan Real
Sub-Topik Selanjutnya: Sifat Archimedes & Kerapatan Bilangan Rasional →

Sifat Kelengkapan, Supremum dan Infimum

1. Definisi Batas Atas, Batas Bawah & Supremum

2. Karakterisasi Epsilon untuk Supremum

3. Contoh Pembuktian Supremum

Latihan Soal Interaktif

Navigasi Sub-Topik

Materi Terkait (Linked References) (3)

Latihan Akhir Modul & Pembahasan Soal

Sifat Archimedes dan Kerapatan Bilangan Rasional

Sifat Aljabar dan Urutan Bilangan Real

Title