Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Real

Diberikan $p$ adalah bilangan prima dan $A=\left\{-\frac{m}{n}-p\frac{n}{m}|m,n\in \mathbb{N}\right\}$, tentukan $\sup A$.

Diberikan barisan $(y_n)$ dengan $y_1=1,y_{n+1}=\frac{1}{4}\left(y_n^3+y_n^2\right)-1$. Tentukan $\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$.

Diberikan barisan $(x_n)$ dengan $x_1=1$ dan $x_{n+1}=x_n^2+x_n$, untuk $n=1,2,3,\dots$. Didefinisikan barisan $y_n=\frac{1}{1+x_n}$, jumlah $S_n=\sum _{k=1}^n{y}_k$ dan hasil kali $P_n=y_k$. Tentukan $S_n+P_n$ untuk $n=1,2,3,\dots$

Diberikan ${\theta }_n=\arctan n$, maka $\underset{n\to \infty }{\lim }{\theta }_{n+1}-{\theta }_n=\dots$

Tentukan $\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\sin \frac{k\pi }{n}$.

Berikan contoh fungsi $f$ yang tidak memenuhi persyaratan : jika $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ kontinu, maka terdapat konstanta $C$ dan $\epsilon >0$ sehingga $\left|f(x)-f(y)\right|\le C{\left|x-y\right|}^{\epsilon }.$

Diberikan fungsi $f:(0,1)\to \mathbb{R}$ terdiferensialkan di setiap $x\in (0,1)$ dan memenuhi persamaan $f(x)=f^{\prime }(x)+{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$ untuk setiap $x\in (0,1)$. Jika terdapat $a,b\in (0,1)$ dengan $f(a)=f(b)=(a+b)/2$ maka $f\left((a+b)/2\right)=\dots$

Misalkan $f$ fungsi konveks pada $[0,2\pi ]$ dengan $f^{\prime \prime }(x)\le M$. Tentukan nilai $a$ dan $b$ sehingga $a\le {\int }_0^{2\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x\le bM.$

Diberikan $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}$ fungsi-fungsi kontinu dengan $\inf \left\{f(x):x\in [a,b]\right\}=\inf \left\{g(x):x\in [a,b]\right\}.$ Tunjukkan bahwa terdapat $c\in [a,b]$ sehingga $f(c)=g(c)$.

Misalkan $f$ terbatas untuk $a\le x\le b$ dan untuk setiap pasangan bilangan $x_1,x_2$ dengan $a\le x_1\le x_2\le b$ berlaku $f\left(\frac{1}{2}(x_1+x_2)\right)\le \frac{1}{2}\left(f(x_1)+f(x_2)\right).$

Buktikan bahwa $f$ kontinu untuk $a<x<b$.

Diketahui $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ kontinu dan terdiferensialkan secara kontinu, dan $m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Tunjukkan bahwa ${\int }_a^b{\left[f^{\prime }(x)\right]}^2\mathrm{d}x\ge m^2(b-a)$ dan kesamaan terjadi jika dan hanya jika $f(x)=f(a)+m(x-a)$.