Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Kombinatorika

Pada gerobak seorang penjual martabak manis tertulis, “Menyediakan 1001 kombinasi taburan”. Jika $t$ adalah banyaknya jenis taburan yang penjual tersebut sediakan, tentukan nilai terkecil yang mungkin untuk $t$.

Dari ke-26 abjad, berapa banyak yang dapat dituliskan tanpa mengangkat pensil dan tanpa mengulangi goresan yang telah dibuat? $A~B~C~D~E~F~G~H~I~J~K~L~M~N~O~P~Q~R~S~T~U~V~W~X~Y~Z$

Dari $10^8$ graf pohon berlabel yang didefinisikan pada 10 titik, berapa banyak yang derajat setiap titiknya 3 atau 1.

$\displaystyle \sum_{j\le k\le i} (-1)^k \binom{i}{k}\binom{k}{j} = \dots$

Banyaknya solusi bilangan bulat dari $x_1 + x_2 + x_3 < 16$ dengan $x_i \ge i$, untuk $i = 1,2,3$ adalah $\dots$

Tentukan formula rekursif untuk $c_n$ yang menyatakan banyaknya himpunan bagian dari $\{1,2,3\dots,n\}$ yang tidak memuat dua bilangan yang berurutan.

Sepotong kawat berukuran 1 meter dipotong secara acak menjadi tiga bagian. Berapakah peluang ketiga bagian ini membentuk segitiga?

Banyaknya pemetaan $f : \{1,2,\dots,2007\}\to \{2006,2007\}$ sehingga $f(1) + f(2) + \dots + f(2007)$ ganjil adalah $\dots$

Diberikan sebelas buah bilangan bulat berbeda. Buktikan bahwa dua di antara bilangan-bilangan tersebut memiliki selisih yang merupakan kelipatan 10.

Diketahui bahwa mahasiswa A menyukai mata kuliah : Aljabar Linear, Kombinatorika, dan Statistika; mahasiswa B menyukai mata kuliah : Aljabar Linear , Analisis Kompleks, Kombinatorika, dan Statistika; mahasiswa C menyukai mata kuliah : Aljabar Linear, Analisis Kompleks, Analisis Real, dan Struktur Aljabar; mahasiswa D menyukai mata kuliah : Analisis Kompleks, Kombinatorika, dan Statistika; mahasiswa E menyukai mata kuliah : Aljabar Linear , Analisis Kompleks dan Statistika; mahasiswa F menyukai mata kuliah : Aljabar Linear, Analisis Kompleks, dan Kombinatorika.

Periksa apakah mungkin untuk membuat korespondensi 1-1 antara keenam mahasiswa dengan keenam mata kuliah sehingga setiap mahasiswa berpasangan dengan sebuah mata kuliah yang disukainya.

Kotak-kotak pada sebuah papan catur berukuran $n\times n$ diwarnai hitam atau putih sedemikian sehingga setiap kotak hitam bertetangga dengan sejumlah ganjil kotak hitam lainnya. Jika $p$ menyatakan banyaknya, buktikan bahwa $p$ ganjil jika dan hanya jika $n$ ganjil.