Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Real

Diberikan $p$ adalah bilangan prima dan $A = \left\{ -\frac{m}{n} - p\frac{n}{m} \big| m,n\in \mathbb{N} \right\}$, tentukan $\sup A$.

Diberikan barisan $(y_n)$ dengan $y_1 = 1, y_{n + 1} =\frac{1}{4}\left(y_n^3 + y_n^2\right) - 1$. Tentukan $\displaystyle\lim_{n \to \infty} y_n$.

Diberikan barisan $(x_n)$ dengan $x_1 = 1$ dan $x_{n + 1} = x_n^2 + x_n$, untuk $n = 1, 2, 3,\dots$. Didefinisikan barisan $y_n = \dfrac{1}{1 + x_n}$, jumlah $\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^n y_k$ dan hasil kali $P_n = y_k$. Tentukan $S_n + P_n$ untuk $n = 1, 2, 3,\dots$

Diberikan $\theta_n = \arctan n$, maka $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \theta_{n + 1} - \theta_n = \dots$

Tentukan $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{n} \sin\frac{k\pi}{n}$.

Berikan contoh fungsi $f$ yang tidak memenuhi persyaratan : jika $f :[0,1]\to \mathbb{R}$ kontinu, maka terdapat konstanta $C$ dan $\varepsilon > 0$ sehingga $\left | f(x) - f(y)\right| \leq C\left|x - y\right|^\varepsilon.$

Diberikan fungsi $f :(0,1)\to \mathbb{R}$ terdiferensialkan di setiap $x\in(0,1)$ dan memenuhi persamaan $\displaystyle f(x) = f'(x) + \int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ untuk setiap $x\in(0,1)$. Jika terdapat $a,b\in(0,1)$ dengan $f(a) = f(b) = (a + b)/2$ maka $f\left((a + b)/2\right) = \dots$

Misalkan $f$ fungsi konveks pada $[0,2\pi]$ dengan $f''(x) \le M$. Tentukan nilai $a$ dan $b$ sehingga $a\leq \int_0^{2\pi} f(x) \cos x\,\mathrm{d}x\leq bM.$

Diberikan $f,g :[a,b] \to \mathbb{R}$ fungsi-fungsi kontinu dengan $\inf\left\{ f(x) : x\in[a,b] \right\} = \inf\left\{ g(x) : x\in[a,b] \right\}.$ Tunjukkan bahwa terdapat $c\in[a,b]$ sehingga $f(c) = g(c)$.

Misalkan $f$ terbatas untuk $a \le x \le b$ dan untuk setiap pasangan bilangan $x_1,x_2$ dengan $a \le x_1 \le x_2 \le b$ berlaku $f\left(\frac{1}{2}(x_1 + x_2)\right) \le \frac{1}{2} \left(f(x_1) + f(x_2)\right).$

Buktikan bahwa $f$ kontinu untuk $a < x < b$.

Diketahui $f :[a,b] \to \mathbb{R}$ kontinu dan terdiferensialkan secara kontinu, dan $\displaystyle m = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Tunjukkan bahwa $\displaystyle \int_a^b \left[f'(x)\right]^2\,\mathrm{d}x \ge m^2(b - a)$ dan kesamaan terjadi jika dan hanya jika $f(x) = f(a) + m(x - a)$.