Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Struktur Aljabar

Diketahui $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2 = \left\{(a,b) \mid a,b\in\mathbb{Z}_2\right\}$ grup terhadap operasi tambah. Banyak automorfisme di $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ adalah $\dots$

Misalkan field $F$ berorde $k$ dan $G = GL_n(F)$. Jika $Z(G)$ adalah senter dari $G$, yaitu $Z(G) =\left\{g\in G\mid xg = gx, \forall x\in G\right\}$, maka banyaknya unsur di $Z(G)$ adalah $\dots$

Unsur di $S_4$ yang berorde 12 adalah $\dots$

Ideal di ring $M_2(\mathbb{Z}_2)$ yang dibangun oleh $x = \begin{pmatrix}1 & 0\\0&0\end{pmatrix}$ adalah $\dots$

Jika $D$ suatu integral domain dengan sifat untuk setiap $x\in D$ berlaku $x^2 = x$. Maka banyaknya unsur di $D$ adalah $\dots$

Diketahui $\mathbb{Z}[i] = \left\{a + bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\right\}$ daerah Euclid bilangan bulat Gauss dengan pemetaan $d : \mathbb{Z} - \{0\} \to \{1,2,\dots\}$ adalah $d(a + bi) = a^2 + b^2$ untuk semua $a + bi\in\mathbb{Z}[i] - \{0\}$. Faktorisasi prim dari $100\in\mathbb{Z}[i]$ adalah $\dots$

Ring $\mathbb{Z}_{15}[x]$ bukan unique factorisation domain. Sebagai contoh, ada dua buah faktorisasi atas prim yang berbeda dari polinom $x^2 - 3x + 2$ di ring $\mathbb{Z}_{15}[x],$ yaitu $x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$ dan $x^2 - 3x + 2 = \dots$

Jika field $F$ hingga maka $F -\{0\}$ membentuk grup siklis terhadap operasi kali di $F$. Pembangun dari $F -\{0\}$ disebut elemen primitif dari $F$. Contoh elemen primitif dari field $\mathbb{Z}_2[x]/ \langle x^3 + x + 1\rangle$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ suatu grup dan $K\subseteq G$ subgrup dari $G$ dengan indeks $K$ di $G$ yaitu $[G:K] = 23.$

(a) Tentukan semua subgrup dari $G$ yang mengandung $K$.

(b) Jika $G$ grup komutatif dan orde dari $K$ yaitu $|K| = 5$ tunjukkan bahwa $G$ grup siklis.

Misalkan ring $R$ komutatif dan untuk setiap $a\in R$ didefinisikan $ann(a) = \{x\in R\mid ax = 0\}.$

(a) Untuk setiap $a\in R$ buktikan bahwa $ann(a)$ adalah ideal dari $R$.

(b) Jika $a,r\in R, ar\neq 0$ dan $ann(a)$ ideal prima tunjukkan $ann(ar)$ juga ideal prima.

Misalkan $\alpha\in \mathbb{R}$ dengan $\alpha\neq 0$ dan terdapat bilangan bulat positif $n$ sehingga $\alpha^n \in\mathbb{Q}$. Misalkan pula $g(x)$ polinom monik berderajat terkecil di $\mathbb{Q}[x]$ sehingga $g(\alpha) = 0.$

(a) Tunjukkan bahwa terdapat $h(x)\in\mathbb{Q}[x]$ sehingga $x^n - \alpha^n = h(x)g(x)$.

(b) Jika $\deg(g(x)) = m$ tunjukkan bahwa $g(0) = \pm \alpha^m.$