Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Aljabar Linear

Misalkan $B$ basis bagi ruang vektor $V$ atas $F$. Misalkan $T : V\to V$ linear dan memenuhi $[T(x)]_B = \begin{bmatrix}x_1 - x_2 + x_3 \\ x_2 \\ x_1 - x_3\end{bmatrix},~\text{jika}~[x]_B = \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}.$ Matriks penyajian (representasi) $T$ terhadap basis $B$ adalah $[T]_B = \dots$

Misalkan $X = \{(1,a,a),(a,1,a),(a,a,1)\}\subseteq \mathbb{C}^3$. Syarat perlu dan cukup agar $X$ bergantung linear adalah $\dots$

Misalkan $V$ ruang vektor atas $F$ dan $f : V\to F$ linear. Nilai terbesar $\text{rank}(f)$ yang mungkin adalah $\dots$

Pemetaan linear $T : P_2 \to P_2$ didefinisikan oleh $(T(f))(t)= t\frac{\mathrm{d}f(t)}{\mathrm{d}t}, \forall f\in P_2$. Suku banyak karakteristik $T$ adalah $p(x) = \dots$

Diberikan matriks $A(x) = \begin{bmatrix} x - 1 & 3 \\ 4 & x + 3\end{bmatrix} \in M_2(\mathbb{R})$. Nilai terkecil $\det(A(x))$ adalah $\dots$

Matriks $\begin{bmatrix} a & 1 & b \\ b & a & 1 \\ 1 & b & a\end{bmatrix}\in M_3(\mathbb{R})$ adalah matriks ortogonal jika dan hanya jika $(a,b) = \dots$

Misalkan $K$ dan $L$ dua subruang dari ruang vektor $V$ atas $F$. Jika $K\neq L$ dan $\dim(K) = \dim(L) = 5,$ maka dimensi subruang $K + L$ paling sedikit adalah $\dots$

Banyaknya matriks bilangan bulat $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}$ yang memenuhi $A^2 = I$ dan $b + c = 0$ adalah $\dots$

Misalkan $A \in M_n(F)$ memenuhi $A^4 = 0$. Tunjukkan bahwa $I + A$ memiliki balikan dan berikan $(I + A)^{-1}$.

Misalkan $A\in M_2(F)$. Pemetaan $T_A : M_2(F) \to M_2(F)$ didefinisikan dengan $T_A(X) = AX - XA, \forall X\in M_2(F)$.

(a) Tunjukkan bahwa $T_A$ merupakan pemetaan linear.

(b) Tunjukkan bahwa $\text{nullity}(T_A) \ge 2$.

Misalkan $V$ ruang vektor berdimensi hingga atas $F$ dan $\mathcal{L}(V,F)$ adalah himpunan semua pemetaan linear dari $V$ ke $F$. Jika $K$ subruang dari $V$, didefinisikan $K^0 = \{f \in\mathcal{L}(V,F) \mid f(x) = 0, \forall x\in K\}.$

Buktikan bahwa $(K\cap L)^0 =K^0 + L^0$, untuk setiap subruang $K,L$ dari $V$.