Naskah Soal ONMIPA PT 2007 — Analisis Kompleks

Diketahui bilangan kompleks $a$ dengan $|a| < 1$. Didefinisikan pemetaan $\varphi_a(z) = \dfrac{z - a}{1 -\bar{a}z}.$ Jika $|z| = 1$, hitung $|\varphi_a(z)|$.

Diketahui fungsi $f$ analitik di domain yang memuat cakram satuan $\{ z:|z| \le 1\}$ dan $a\in D^0$ dengan $f(a) = a$. Definisikan fungsi $g$ yang analitik di domain yang memuat cakram satuan dengan sifat $g(0)= 0$ dan $|g(z)| = |f(z)|$ jika $|z| = 1$.

Diketahui $C$ adalah kurva di kuadran pertama dengan $|z|= 2$ untuk setiap $z\in \mathbb{C}$ dari $z = 2$ sampai dengan $z = 2i$. Jika $\displaystyle \left |\int_{C} \frac{\mathrm{d}z}{z^2 - 1}\right| \le ML,$ tentukan nilai terkecil $M$ dan nilai $L$ jika $L$ menyatakan panjang kurva.

Hasil pemetaan lingkaran $L:|z - 1| = 1$ oleh $w = \dfrac{i}{z + 2i}$ adalah $\dots$

Diketahui fungsi $F :\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ analitik atau holomorfik. Kemudian untuk $a\in\mathbb{C}$ didefinisikan $f(z) = \begin{cases} \frac{F(z) - F(a)}{z - a} & z\neq a\\ A & z = a. \end{cases}$

Tentukan nilai $A$ agar $f$ kontinu pada $\mathbb{C}$.

Diketahui $\gamma$ adalah lingkaran yang berpusat di 0 dan berjari-jari 2. Tentukan nilai dari $\displaystyle\int_\gamma \frac{\mathrm{d}z}{z^2(z^2 + 1)}$

Tentukan nilai maksimum dan minimum modulus $z^2 - z$ pada cakram $|z| \le 1$.

Diketahui $p(z) = z^3 - 3z^2 + 4z - 5$ dan $q(z) = z^2(1 + q(z))$ dengan $q(0)\neq 1$. Tentukan nilai residu dari $f(z) =\frac{p(z)}{q(z)}$ di $z =0$.

Diketahui $f(z) = u(x,y)+iv(x,y)$ entire (analitik pada seluruh bidang kompleks). Jika $u$ terbatas dan $v$ satu-satu tunjukkan bahwa untuk setiap $z_1 \neq z_2\in \mathbb{C}$ berlaku $f(z_1) - f(z_2)\notin\mathbb{R}$

Misalkan $f$ fungsi entire dan $|f'(z)|\le |z|$ untuk semua $z$. Perlihatkan bahwa $f(z) = a+ bz^2$ dengan $|b|\le 1$.

Diketahui fungsi $f$ analitik pada cakram satuan $D$ dan $|f(z)| < 1$ pada $D$. Jika $a$ dan $b$ adalah titik tetap di $D$ ($f(a) = a$ dan $f(b) = b$), gunakan lemma Schwarz untuk membuktikan $f(z) = z$.