Materi Struktur Aljabar
📖 8 Bab Utama • 📝 28 Sub-Materi • 🏆 13 Pembahasan ONMIPA
Grup, subgrup, homomorfisme, gelanggang (ring), lapangan (field), dan teori Galois.
Seluruh materi pada bidang Struktur Aljabar ini diselaraskan dengan cakupan silabus resmi yang diujikan dalam ONMIPA-PT. Soal-soal latihan yang disajikan juga disusun sedemikian rupa untuk mendukung penguatan kemampuan problem solving serta menyesuaikan tingkat kesulitan soal yang akan dihadapi dalam kompetisi ONMIPA.
Catatan Keterbukaan Pembuatan Materi (AI-Assisted Content)
Materi berikut dibuat dengan bantuan AI. Bagian-bagian istilahnya masih saya lakukan quality control agar sesuai. Di pembahasan juga terkadang AI kurang tepat sehingga harus saya cek ulang. Konten ini akan terus dikembangkan agar berguna dan dapat membantu teman-teman belajar. Isi materi ini bukan untuk dijadikan rujukan utama, melainkan agar konsep-konsep yang ada di ONMIPA dapat dipelajari lebih jauh dan lebih mendetail lagi dengan buku referensi lain.
Modul Pelatihan Intensif Struktur Aljabar (PDF)
Ukuran berkas: 267 KB • Penulis: Filza Buana Putra (Maret 2026)
📚 Silabus Terstruktur Struktur Aljabar
Daftar bab dan sub-materi disusun secara berurutan sistematis.
Struktur Dasar Grup
Definisi dan Sifat-Sifat Dasar Grup
Operasi biner, aksioma grup, ketunggalan identitas dan invers, serta hukum kanselasi dalam teori grup.
Subgrup dan Kriteria Subgrup
Definisi subgrup , Uji Subgrup Satu Langkah dan Dua Langkah, serta konsep Sentralis .
Grup dan Subgrup Siklik
Grup siklik , orde unsur , Teorema Fundamental Grup Siklik, dan pencacahan generator dengan fungsi Euler .
Latihan Soal Bab 1: Struktur Dasar Grup
Kumpulan soal latihan komprehensif Bab 1 mencakup grup, subgrup, dan grup siklik beserta pembahasannya.
Koset dan Teorema Lagrange
Koset Kiri dan Koset Kanan
Penguraian grup melalui koset aH dan Ha, sifat-sifat koset, serta pembentukan partisi himpunan.
Teorema Lagrange dan Indeks Subgrup
Teorema Lagrange |G| = [G:H]|H|, indeks subgrup, orde unsur membagi orde grup, dan Teorema Kecil Fermat.
Latihan Soal Bab 2: Koset dan Teorema Lagrange
Kumpulan latihan soal komprehensif Bab 2 tentang koset, Teorema Lagrange, dan aplikasi teori grup hingga.
Subgrup Normal dan Grup Kuosien
Subgrup Normal
Definisi subgrup normal , kriteria , kesamaan koset kiri dan kanan, serta Pusat Grup .
Grup Kuosien
Konstruksi grup kuosien G/N di bawah operasi (aN)(bN) = (ab)N dan sifat-sifat keterwarisan grup kuosien.
Latihan Soal Bab 3: Subgrup Normal dan Grup Kuosien
Kumpulan soal latihan komprehensif Bab 3 tentang subgrup normal, grup kuosien, dan subgrup komutator.
Homomorfisma Grup
Homomorfisma Grup dan Sifat Dasar
Definisi homomorfisma phi(ab) = phi(a)phi(b), isomorfisma, serta struktur Kernel Ker(phi) dan Citra Img(phi).
Teorema Isomorfisma Pertama untuk Grup
Teorema Isomorfisma Pertama dan aplikasinya pada penguraian grup kuosien.
Latihan Soal Bab 4: Homomorfisma Grup
Kumpulan latihan soal komprehensif Bab 4 tentang homomorfisma, automorfisma dalam, dan penerapan Teorema Isomorfisma.
Ring dan Daerah Integral
Definisi dan Sifat Dasar Ring
Aksioma struktur ring (R, +, .), ring komutatif, ring dengan satuan, dan sifat dasar perkalian.
Pembagi Nol, Daerah Integral, dan Lapangan
Pembagi nol dalam ring, definisi daerah integral (tanpa pembagi nol), hukum kanselasi perkalian, dan definisi lapangan.
Karakteristik Ring
Definisi karakteristik ring char(R), sifat karakteristik daerah integral (0 atau prima), Freshman's Dream, dan Frobenius Endomorphism.
Latihan Soal Bab 5: Ring dan Daerah Integral
Kumpulan latihan soal komprehensif Bab 5 tentang ring, daerah integral, lapangan, dan karakteristik ring.
Ideal dan Ring Kuosien
Ideal, Ideal Maksimal, dan Ideal Prima
Definisi ideal , sifat penyerapan perkalian, serta karakterisasi ideal maksimal dan ideal prima.
Ring Kuosien
Konstruksi ring kuosien R/I dan hubungan fundamental antara ideal maksimal/prima dengan struktur R/I.
Teorema Isomorfisma Ring
Homomorfisma ring, kernel homomorfisma, Teorema Isomorfisma Pertama untuk Ring , dan aplikasi pada .
Latihan Soal Bab 6: Ideal dan Ring Kuosien
Kumpulan latihan soal komprehensif Bab 6 tentang ideal, ring kuosien, annihilator, dan hasil kali ideal.
Ring Polinomial & Daerah Euclid
Struktur Ring Polinomial R[x]
Definisi ring polinomial R[x], derajat polinomial, serta keterwarisan sifat daerah integral dari R ke R[x].
Daerah Euclid, PID, dan UFD
Daerah Euclid (ED), norma Euclid, Bilangan Bulat Gauss , serta Teorema .
Algoritma Pembagian dan Polinomial Irredusibel
Algoritma pembagian di , definisi polinomial irredusibel, Kriteria Eisenstein, dan konstruksi lapangan .
Lema Gauss dan Polinomial Siklotomik
Lema Gauss (hubungan faktorisasi Z[x] dan Q[x]), konten polinomial, serta Polinomial Siklotomik Phi_n(x).
Latihan Soal Bab 7: Ring Polinomial
Kumpulan latihan soal komprehensif Bab 7 tentang ring polinomial, Daerah Ideal Utama (PID), dan faktorisasi polinomial.
Soal Latihan Akhir Modul
Latihan Akhir - Bagian I: Isian Singkat
Kumpulan 20 soal latihan akhir isian singkat bidang Struktur Aljabar lengkap dengan kunci dan pembahasan.
Latihan Akhir - Bagian II: Essay Pembuktian
10 Soal Essay Pembuktian bidang Struktur Aljabar lengkap dengan langkah-langkah pembuktian matematis secara rinci.
🏆 Naskah Soal ONMIPA Struktur Aljabar
Kumpulan naskah soal dan pembahasan ONMIPA PT per tahun untuk bidang ini.