Naskah Soal ONMIPA PT 2017 — Struktur Aljabar

Banyaknya unit di ring ${\mathbb{Z}}_{2^n}$ adalah $\dots$

Misalkan $S_5$ adalah grup permutasi atas $\{1,2,3,4,5\}$. Banyaknya unsur berorde 2 di $S_5$ adalah $\dots$

Banyaknya subgrup dari ${\mathbb{Z}}_2\times {\mathbb{Z}}_4$ berorde 4 adalah $\dots$

Misalkan ${\mathbb{F}}_2$ adalah lapangan (field) dengan dua unsur. Semua polinom tereduksi berderajat 5 di ${\mathbb{F}}_2[x]$ yang tidak memiliki akar adalah $\dots$

Misalkan $H$ suatu subgrup normal hingga dari $G$. Misalkan pula $g\in G$ berorde $n$ dan unsur di $H$ yang komutatif dengan $g$ hanyalah unsur identitas $e$.

(a) Buktikan bahwa pemetaan $f:H\to H$ dengan $f(h)=g^{-1}{h}^{-1}gh$ merupakan suatu bijeksi.

(b) Tunjukkan bahwa semua unsur di koset $gH$ semuanya berorde $n$.

Buktikan bahwa $I$ merupakan ideal maksimal di gelanggang $R$ jika dan hanya jika terdapat suatu lapangan (field) $F$ dan homomorfisma ring $f:R\to F$ yang surjektif sedemikian sehingga $I=\ker f$.