Latihan Soal Bab 1: Struktur Dasar Grup

Pembahasan: Uraikan kedua ruas: $abab=aabb$. Kalikan dari kiri dengan $a^{-1}$: $a^{-1}abab=a^{-1}aabb⟹bab=ab$. Kalikan dari kanan dengan $b^{-1}$: $bab{b}^{-1}=ab{b}^{-1}⟹ba=ab$. Maka $G$ adalah grup Abelian. $■$

Pembahasan:

• $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\in H$ (untuk $a=0$), jadi $H\ne \varnothing$.
• Ambil $A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right)\in H$.
• Invers $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -b\\ 0& 1\end{array}\right)$.
• Hitung $A{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -b\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& a-b\\ 0& 1\end{array}\right)\in H$. Maka $H\le GL(2,\mathbb{R})$. $■$

Pembahasan: Misalkan $|ab|=n⟹(ab{)}^n=e$. Perhatikan bahwa $a(ba{)}^{n-1}b=(ab{)}^n=e$. Kalikan dari kiri dengan $a^{-1}$ dan kanan dengan $a$:

$a^{-1}a(ba{)}^{n-1}ba=a^{-1}ea⟹(ba{)}^n=e$

Maka $|ba|$ membagi $|ab|$. Secara simetris, $|ab|$ membagi $|ba|$, sehingga $|ab|=|ba|$. $■$

Pembahasan:

• $e\in T$ karena $|e|=1<\infty ⟹T\ne \varnothing$.
• Ambil $a,b\in T⟹|a|=m,|b|=n$.
• Karena $G$ Abelian, $(a{b}^{-1}{)}^{mn}=a^{mn}(b^{-1}{)}^{mn}=(a^m{)}^n((b^n{)}^{-1}{)}^m=e^n{e}^m=e$.
• Maka $|a{b}^{-1}|\le mn<\infty ⟹a{b}^{-1}\in T$. Jadi $T\le G$. $■$