Latihan Akhir - Bagian I: Isian Singkat

Pembahasan: Elemen berorde 3 di $S_4$ adalah perkalian 3-cycle $(abc)$. Banyaknya cara memilih 3 angka dari 4: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$. Setiap 3 angka membentuk $(3-1)!=2$ buah 3-cycle. Total elemen $=4\times 2=8$. $■$

Pembahasan: Rumus orde pangkat: $|a^k|=\frac{|a|}{\text{fpb}(k,|a|)}=\frac{30}{\text{fpb}(18,30)}=\frac{30}{6}=5$. $■$

Pembahasan: Generator dari ${\mathbb{Z}}_{12}$ adalah $\{k:\text{fpb}(k,12)=1\}=\{1,5,7,11\}$. Jumlah seluruhnya $=1+5+7+11=24$. $■$

Pembahasan: Banyaknya subgrup dari grup siklik berorde $n$ sama dengan banyaknya pembagi dari $n$. $60=2^2\times 3^1\times 5^1⟹d(60)=(2+1)(1+1)(1+1)=3\times 2\times 2=12$. $■$

Pembahasan: $|H\cap K|$ membagi $\text{fpb}(12,35)=1⟹|H\cap K|=1$. $■$

Pembahasan: $\sigma$ terdiri dari dua cycle saling lepas berpanjang 3 dan 4. $|\sigma |=\text{kpk}(3,4)=12$. $■$

Pembahasan: Banyak homomorfisma dari ${\mathbb{Z}}_m$ ke ${\mathbb{Z}}_n$ adalah $\text{fpb}(m,n)=\text{fpb}(15,20)=5$. $■$

Pembahasan: $G\cong {\mathbb{Z}}_5\times {\mathbb{Z}}_5$. Total elemen tak nol $=24$. Setiap subgrup berorde 5 memiliki 4 elemen bukan identitas. Subgrup-subgrup ini saling lepas selain identitas. Banyak subgrup berorde 5 $=\frac{24}{4}=6$. $■$

Pembahasan: $|D_4|=8$, $|Z(D_4)|=2⟹[D_4:Z(D_4)]=\frac{8}{2}=4$. $■$

Pembahasan: $\text{Im}(\varphi )=⟨5⟩=\{0,5\}⟹|\text{Im}(\varphi )|=2$. Berdasarkan Teorema Isomorfisma Pertama: $|\text{Ker}(\varphi )|=\frac{|{\mathbb{Z}}_{24}|}{|\text{Im}(\varphi )|}=\frac{24}{2}=12$. $■$

Pembahasan: Elemen tak nol di ${\mathbb{Z}}_{30}$ yang bukan unit: elemen $a\ne 0$ s.t. $\text{fpb}(a,30)>1$. Banyak unit adalah $\varphi (30)=30\times \left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)=8$. Banyak pembagi nol $=30-1(\text{elemen }0)-8(\text{unit})=21$. $■$

Pembahasan: $\text{char}({\mathbb{Z}}_5\times {\mathbb{Z}}_{10})=\text{kpk}(\text{char}({\mathbb{Z}}_5),\text{char}({\mathbb{Z}}_{10}))=\text{kpk}(5,10)=10$. $■$

Pembahasan: Berdasarkan Teorema Sisa, sisa $r=f(1)=1^{100}+1=2$. $■$

Pembahasan: Ring kuosien $\mathbb{Z}[i]/⟨3⟩$ isomorfis dengan lapangan dengan $3^2=9$ elemen (karena 3 prima Gauss). Dalam lapangan berukuran 9, seluruh 8 elemen tak nol adalah unit. Maka unit $=8$. $■$

Pembahasan: $I+J=⟨\text{fpb}(2,3)⟩=⟨1⟩=\mathbb{Z}$. $■$

Pembahasan: Polinomial irredusibel $x^2+1$ berderajat 2 atas ${\mathbb{Z}}_3$. Jumlah elemen $=3^2=9$. $■$

Pembahasan: Polinomial derajat 3 redusibel $⟺$ memiliki akar di ${\mathbb{Z}}_3=\{0,1,2\}$.

• Evaluasi $x=1⟹1^3+k(1)+1=k+2\equiv 0(\mathrm{mod}3)⟹k=1$. $■$

Pembahasan: $x^4+1=(x^2+1{)}^2-2x^2=(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)$. Kedua faktor kuadratik tersebut ber-diskriminan negatif ($2-4=-2<0$), jadi irredusibel di $\mathbb{R}[x]$. Banyak faktor $=2$. $■$

Pembahasan: $\text{char}(R)=2$ (karena $x+x=0$). $■$

Pembahasan: Ideal maksimal di ${\mathbb{Z}}_{120}$ berkorespondensi dengan faktor-faktor prima dari 120. Faktorisasi $120=2^3\times 3^1\times 5^1$. Faktor primanya adalah $\{2,3,5\}$ (ada 3 buah). Banyak ideal maksimal $=3$. $■$