Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Struktur Aljabar

Banyaknya polinom berderajat dua yang berbeda dalam ${\mathbb{Z}}_2[x]$ adalah $\dots$

Misalkan $G=A(S),$ grup yang memuat semua permutasi dari $\{x_1,x_2,x_3\}$ dan $H=\{\sigma \in G\mid x_1\sigma =x_1\}$. Banyaknya koset kanan dari $H$ di $G$ adalah $\dots$

Banyak pembagi nol di ${\mathbb{Z}}_{2008}$ terhadap perkalian adalah $\dots$

Suatu contoh pasangan grup tak komutatif $G$ dan $N⊴G$ yang memenuhi $G/N$ grup komutatif adalah $(G,N)=\dots$

Contoh gelanggang $R$ dimana hukum pembatalan tidak berlaku, yaitu terdapat $a,b,c\in R,a\ne 0$ sehingga $b\ne c,$ tetapi $ab=ac$, adalah $\dots$

Diberikan grup $G=\{(a,b)\mid a,b\in \mathbb{R},a\ne 0\}$ terhadap operasi biner $\ast$ yang didefinisikan sebagai $(a,b)\ast (c,d)=(ac,b+d)$ untuk setiap $(a,b),(c,d)\in G$. Banyaknya unsur berorde 2 di $G$ adalah $\dots$

Bilangan asli $n\ge 2$ yang mengakibatkan ${\mathbb{Z}}_n$ grup terhadap operasi $\ast$ dengan $\overline{a}\ast \overline{b}=\overline{ab}+\overline{a}+\overline{b}$, untuk setiap $\overline{a},\overline{b}\in {\mathbb{Z}}_n$ adalah $\dots$

Semua ideal dari ${\mathbb{Z}}_7\times \mathbb{Q}$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ grup komutatif. Jika terdapat $a,b\in G,a\ne b$ sehingga $o(a)=o(b)=2$, tunjukkan bahwa $o(G)$ merupakan kelipatan 4. Apakah hal ini tetap berlaku apabila $G$ bukan grup komutatif?

Misalkan $a,b\in \mathbb{R},a\ne 0$. Misalkan ${\psi }_{ab}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ didefinisikan oleh ${\psi }_{ab}(x)=ax+b$. Misalkan $G=\{{\psi }_{ab}\mid a,b\in \mathbb{R},a\ne 0\}$ dan $N=\{{\psi }_{1b}\in G\}$. Tunjukkan bahwa $G/N$ isomorf dengan $\mathbb{R}-\{0\},$ grup semua bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian.