Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Struktur Aljabar

Banyaknya polinom berderajat dua yang berbeda dalam $\mathbb{Z}_2[x]$ adalah $\dots$

Misalkan $G = A(S),$ grup yang memuat semua permutasi dari $\{x_1,x_2,x_3\}$ dan $H = \{\sigma\in G\mid x_1\sigma = x_1\}$. Banyaknya koset kanan dari $H$ di $G$ adalah $\dots$

Banyak pembagi nol di $\mathbb{Z}_{2008}$ terhadap perkalian adalah $\dots$

Suatu contoh pasangan grup tak komutatif $G$ dan $N\unlhd G$ yang memenuhi $G/N$ grup komutatif adalah $(G,N) = \dots$

Contoh gelanggang $R$ dimana hukum pembatalan tidak berlaku, yaitu terdapat $a,b,c \in R, a\neq 0$ sehingga $b\neq c,$ tetapi $ab = ac$, adalah $\dots$

Diberikan grup $G = \{(a,b)\mid a,b \in \mathbb{R}, a\neq 0\}$ terhadap operasi biner $*$ yang didefinisikan sebagai $(a,b)*(c,d) = (ac, b + d)$ untuk setiap $(a,b),(c,d)\in G$. Banyaknya unsur berorde 2 di $G$ adalah $\dots$

Bilangan asli $n\ge 2$ yang mengakibatkan $\mathbb{Z}_n$ grup terhadap operasi $*$ dengan $\overline{a}*\overline{b} = \overline{ab} + \overline{a} + \overline{b}$, untuk setiap $\overline{a},\overline{b} \in \mathbb{Z}_n$ adalah $\dots$

Semua ideal dari $\mathbb{Z}_7\times \mathbb{Q}$ adalah $\dots$

Misalkan $G$ grup komutatif. Jika terdapat $a,b\in G, a\neq b$ sehingga $o(a) = o(b) = 2$, tunjukkan bahwa $o(G)$ merupakan kelipatan 4. Apakah hal ini tetap berlaku apabila $G$ bukan grup komutatif?

Misalkan $a,b\in\mathbb{R}, a\neq 0$. Misalkan $\psi_{ab} : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ didefinisikan oleh $\psi_{ab}(x) = ax + b$. Misalkan $G = \{\psi_{ab} \mid a,b\in\mathbb{R}, a\neq 0\}$ dan $N = \{\psi_{1b}\in G\}$. Tunjukkan bahwa $G/N$ isomorf dengan $\mathbb{R} - \{0\},$ grup semua bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian.