Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Kompleks

Misalkan $1 + z^2 + z^4 + z^6 + \dots = a$, pada $|z| < 1,$ dan $a \in\mathbb{C}.$ Hasil dari $\dfrac{1}{1 + z}(1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + \dots) = \dots$

Misalkan $z$ terletak pada lingkaran $|z| = 2$. Estimasi nilai $\displaystyle \left|\frac{z}{z^3 - z^2 - 2z + 2}\right|$ adalah $\dots$

Akar pangkat tiga dari $\displaystyle\left(\frac{i - \sqrt 3}{1 + i\sqrt 3}\right)^2$ adalah $\dots$

Pada $\mathbb{C} : |z| \le 3$, $\displaystyle \int_{\mathbb{C}} \frac{z}{(z^2 - 1)(z + 2)^3} \mathrm{d}z = \dots$

Jika $\mathcal{C}$ sepenggal garis yang menghubungkan titik $2\sqrt 2$ dan titik $2i\sqrt2,$ maka estimasi nilai $\displaystyle \left|\int_{\mathcal{C}}\frac{z^2}{z^2 + 2} \mathrm{d}z\right|$ adalah $\dots$

Prapeta dari garis $x + y - 1 = 0$ oleh transformasi linear $T(z) = 2iz + 2 - i$ adalah $\dots$

$\displaystyle \int_0^{2\pi} \cos x \cos 2x \cos 4x \cos 8x \dots \cos 2^{2008} x \,\mathrm{d}x = \dots$

$\displaystyle \frac{1}{2\pi i} \int_{|z| = 1} e^{\sin \frac{1}{z}} \mathrm{d}z = \dots$

Misalkan $h(z)$ fungsi harmonik bernilai kompleks dan $zh(z)$ juga harmonik. Tunjukkan $h(z)$ analitik.

Misalkan $f$ analitik, $f'$ kontinu, dan $|f(z) - 1| < 1$ pada suatu daerah $\mathcal{D}$. Tunjukkan bahwa $\displaystyle \int_{\mathcal{C}} \frac{f'(z)}{f(z) - 1} \mathrm{d}z = 0,$ untuk setiap kurva tertutup $\mathcal{C}$ yang berada dalam $\mathcal{D}$.