Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Aljabar Linear

Pemetaan linear $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ didefinisikan melalui $T(\alpha,\beta) = (3\alpha - \beta, \alpha + 3\beta)$ untuk setiap $(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$. Terhadap basis $\mathcal{B} = \{(1,1),(1,-1)\}$ bagi $\mathbb{R}^2$, matriks penyajian (representasi) $T$ adalah $\dots$

Matriks tak singular $X\in M_n(F)$ dikatakan ortogonal jika ke-$n$ baris $X$ membentuk sebuah himpunan ortonormal. Jika $A$ ortogonal maka haruslah $\det(A) = \dots$

Untuk matriks $X = [x_{ij}]\in M_n(F)$, didefinisikan $\displaystyle\text{tr}(X) = \sum_{i = 1}^n x_{ii}$. Jika $A,B\in M_n(F)$ maka $\text{tr}(AB - BA) = \dots$

Jika $E = M_n(F)$ memenuhi $E^2 = E$, balikan (invers) dari matriks $I + E$ adalah $\dots$

Misalkan $U,V,W$ tiga ruang vektor atas lapangan $F$, dengan $\dim(U) = 2008$ dan $\dim(V) = 8002$. Misalkan $T : V \to W$ dan $S : W\to U$ pemetaan-pemetaan linear yang memenuhi $T$ satu-satu, $S$ pada dan $\text{Im}(T) = \text{Ker}(S)$, maka $\dim(W) = \dots$

Agar matriks $\begin{bmatrix}1 & c\\ -1 & 3\end{bmatrix}$ mempunyai nilai karakteristik (eigen) real dan tidak dapat didiagonalkan, maka haruslah $c = \dots$

Nilai terbesar multiplisitas geometri dari sembarang nilai karakteristik matriks real $\begin{bmatrix}2 & x & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2\end{bmatrix}$ adalah $\dots$

Banyaknya matriks bilangan bulat $A = \begin{bmatrix}a & b \\ 0 & c\end{bmatrix}$ yang memenuhi $A^2 + A = 2I$ dan $\det(A) = 4$ adalah $\dots$

Misalkan $V$ ruang vektor atas $F$ berdimensi $2m - 1$ untuk suatu bilangan asli $m\ge 2$. Jika $M$ dan $N$ dua subruang dari $V$ dengan $\dim(M) = \dim(N) = m$, tunjukkan bahwa $M\cap N \neq \{0\}$.

Misalkan $A =[a_{ij}]\in M_4(\mathbb{R})$ memenuhi $a_{ij} > 0$ jika $j \equiv i + 1 \pmod 4$ dan $a_{ij} = 0$ jika $j \not\equiv i + 1 \pmod 4.$

(a) Tunjukkan bahwa semua komponen $(I + A)^3$ positif.

(b) Apakah ada matriks $A$ yang memenuhi semua syarat di atas sehingga $(I + A)^3$ singular?