Naskah Soal ONMIPA PT 2008 — Analisis Real

Infimum dari himpunan $A = \{3^{2x} + 3^{\frac{1}{2x}} : x> 0\}$ adalah $\dots$

Misalkan fungsi $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, mempunyai limit $L$ di titik $x = 0$. Jika $g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ didefinisikan dengan $g(x) = f(ax^2 + x), \forall x\in\mathbb{R}$ dan $a > 0$, maka $\displaystyle \lim_{x\to 0} g(x) = \dots$

Benar atau salah : Jika $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = b$ dan $\displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = c$, maka $\displaystyle\lim_{x\to a} (g\circ f)(x) = c$. Jika salah berilah contohnya.

Diberikan barisan bilangan real $(a_n)$ yang didefinisikan dengan $a_1 = \frac{1}{2},$ dan $a_{n + 1} = a_n + a_n^2.$ Apakah $(a_n)$ konvergen? Jika ya, berapakah limitnya?

Diketahui bahwa $p$ buah bilangan non-negatif $a_1,a_2,\dots,a_p$ bersifat $a_i \le a_{i - 1}, i = 2,3,\dots, p$. Nilai dari $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_1^n +a_2^n + \dots + a_p^n)^{1/n}$ adalah $\dots$

Misalkan $H$ adalah himpunan semua fungsi $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dimana $f$ mempunyai turunan yang kontinu, $f(0) = 0,$ dan $f(1) = 1$. Untuk sembarang $f\in H$ didefinisikan $l_f$ sebagai panjang grafik dari $f$ pada interval $[0,1]$. Nilai dari $\sup\{l_f \mid f\in H\}$ adalah $\dots$

Nilai dari $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\int_0^1 \frac{x^ne^{x^n}}{\cos x}\mathrm{d}x$ adalah $\dots$

Contoh himpunan yang mempunyai tepat 2008 titik limit adalah $\dots$

Diberikan barisan $(x_n)$ yang konvergen ke $x$ dan selanjutnya didefinisikan barisan $(y_n)$ dengan $y_n = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n x_k.$

Tunjukkan bahwa $(y_n)$ juga konvergen ke $x$.

Diketahui fungsi $f,f_n : \mathbb{R}\to\mathbb{R}, n = 1,2,3,\dots$. Untuk sebarang barisan $(x_n)$ yang konvergen ke $x$ berakibat barisan $\left(f_n(x_n)\right)$ konvergen ke $f(x)$. Tunjukkan bahwa fungsi $f$ kontinu.